Перейти к содержанию

Уравнение теплопроводности

В этой главе на уровне сплошной среды рассматриваются уравнение теплопроводности, решаемое FrontISTR, и соответствующие граничные условия. Дискретизация по времени и дискретизация методом конечных элементов рассматриваются в разделе дискретизации (L3d) и в разделе алгоритмов решения (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Основное уравнение

Уравнение теплопроводности в сплошной среде имеет следующий вид.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Здесь \(\rho=\rho(x)\) обозначает плотность массы, \(c=c(x,T)\) — удельную теплоемкость, \(T=T(x,t)\) — температуру, \(k=k(x,T)\) — теплопроводность, \(Q=Q(x,T,t)\) — тепловыделение, \(x\) — положение, а \(t\) — время. \(k_x, k_y, k_z\) являются коэффициентами теплопроводности по соответствующим направлениям при анизотропной теплопроводности.

Конкретные теплофизические свойства, включая температурную зависимость и анизотропию, см. в разделе Теплофизические свойства.

Граничные условия

Пусть рассматриваемая область обозначается \(S\), а ее граница — \(\Gamma\). Предполагая, что во всех точках \(\Gamma\) задано граничное условие либо типа Дирихле, либо типа Неймана, граничные условия записываются следующим образом.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Здесь функциональные формы \(T_1\) и \(q\) предполагаются известными. \(q\) — тепловой поток, выходящий через границу. Граничный тепловой поток \(q\) состоит из следующих трех компонентов.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Здесь \(q_s\) — распределенный тепловой поток, \(q_c\) — тепловой поток вследствие конвективного теплообмена, а \(q_r\) — тепловой поток вследствие лучистого теплообмена.

Здесь \(Tc=Tc(x,t)\) — температура окружающей среды для конвективного теплообмена, \(hc=hc(x,t)\) — коэффициент конвективного теплообмена, \(Tr=Tr(x,t)\) — температура окружающей среды для лучистого теплообмена, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) — коэффициент лучистого теплообмена, \(\varepsilon\) — степень черноты, \(\sigma\) — постоянная Стефана — Больцмана, а \(F\) — угловой коэффициент.

Порядок задания этих условий во входном файле см. в разделе Граничные условия и нагрузки справочника функций.

Слабая форма

Сопряжение со структурным анализом

Связанные темы