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熱傳導方程式

本章整理 FrontISTR 所處理之熱傳導的支配方程式（連續體層級）及其邊界條件。時間離散化與 FEM 離散化則交由離散化（L3d）及求解演算法（L3e：solution_methods/05_transient_heat）說明。

支配方程式

連續體中的熱傳導方程式如下。

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

其中，\(\rho=\rho(x)\) 表示質量密度，\(c=c(x,T)\) 表示比熱，\(T=T(x,t)\) 表示溫度，\(k=k(x,T)\) 表示熱傳導率，\(Q=Q(x,T,t)\) 表示發熱量，\(x\) 表示位置，\(t\) 表示時間。\(k_x, k_y, k_z\) 為異向性熱傳導各方向的熱傳導率。

具體的熱物性（溫度相依性、異向性）請參閱熱物性。

邊界條件

令考慮的區域為 \(S\)，其邊界為 \(\Gamma\)。假設在 \(\Gamma\) 上各處皆指定 Dirichlet 型或 Neumann 型邊界條件之一，則邊界條件如下。

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

其中，假設 \(T_1\)、\(q\) 的函數形式已知。\(q\) 為自邊界流出的熱通量。邊界熱通量 \(q\) 由以下三種成分構成。

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

其中，\(q_s\) 為分佈熱通量，\(q_c\) 為對流熱傳遞造成的熱通量，\(q_r\) 為輻射熱傳遞造成的熱通量。

其中，\(Tc=Tc(x,t)\) 為對流熱傳遞的環境溫度，\(hc=hc(x,t)\) 為對流熱傳遞係數，\(Tr=Tr(x,t)\) 為輻射熱傳遞的環境溫度，\(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) 為輻射熱傳遞係數，\(\varepsilon\) 為輻射率，\(\sigma\) 為 Stefan-Boltzmann 常數，\(F\) 為形態係數。

關於在輸入檔案中的指定方式，請參閱功能參考的邊界條件與荷載。

弱形式

與結構分析的耦合邊界

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