物理量符號一覽
本頁列出 FrontISTR 理論手冊中使用的物理量符號。
關於記法規則（向量與張量的粗體表示、Einstein 縮約慣例、Voigt 表示），請參閱
張量記法與數學基礎。
配置與座標系
| 符號 |
說明 |
| \(\boldsymbol{X}\) |
物質點在基準配置（初始配置）中的位置向量（物質座標） |
| \(\boldsymbol{x}\) |
物質點在現配置中的位置向量（空間座標） |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
運動映射：\(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) |
物體在基準配置中所占的區域 |
| \(\Omega\) |
物體在現配置中所占的區域 |
| \(\Gamma_0\) |
\(\Omega_0\) 的邊界 |
| \(\Gamma\) |
\(\Omega\) 的邊界 |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) |
幾何（位移）邊界：在現配置與基準配置的邊界上規定 \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) |
力學邊界：在現配置與基準配置的邊界上規定 \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\)（或 \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)） |
| \(\boldsymbol{n}\) |
現配置中表面的外向單位法向量 |
| \(\boldsymbol{N}\) |
基準配置中表面的外向單位法向量 |
| \(t\) |
時刻 |
慣例：基準配置中的物理量使用大寫字母或下標 \(0\)，現配置中的物理量使用小寫字母。
時刻與增量（增量分析）
| 符號 |
說明 |
| \(\Delta t\) |
時間增量：\(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) |
時刻 \(t\) 的物理量（前置上標）。例如：\(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) 為時刻 \(t\) 的 Cauchy 應力 |
| \(^{t}\Omega\) |
時刻 \(t\) 的現配置區域 |
| \(^{t}\Gamma\) |
時刻 \(t\) 的現配置邊界 |
慣例：在增量分析中，將截至時刻 \(t\) 的狀態視為已知，求解時刻 \(t + \Delta t\) 的未知狀態。若無需明示時刻，則省略前置上標。選擇基準配置 \(\Omega_0\) 作為參考配置的定式化稱為 Total Lagrange 法，選擇增量開始時的現配置 \(^{t}\Omega\) 作為參考配置的定式化稱為 Updated Lagrange 法。
位移、速度、加速度與體力
| 符號 |
說明 |
| \(\boldsymbol{u}\) |
位移向量：\(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) |
在幾何邊界 \(\Gamma_B\) 上規定的位移 |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) |
虛位移（測試函數）：在 \(\Gamma_B\) 上 \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) |
速度向量：\(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) |
加速度向量：\(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) |
體力（每單位質量） |
| \(\boldsymbol{t}\) |
表面力向量（每單位面積）：\(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) |
在力學邊界 \(\Gamma_t\) 上規定的表面力（Neumann 資料） |
微分算子
| 符號 |
說明 |
| \(\dot{(\cdot)}\) |
物質時間導數（追蹤同一物質點的時間導數）：\(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) |
基準配置梯度（對物質座標 \(\boldsymbol{X}\) 的梯度）：\(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) |
現配置梯度（對空間座標 \(\boldsymbol{x}\) 的梯度）：\(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) |
對稱梯度算子：\(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
備註：\(\nabla_X\) 與 \(\nabla_x\) 的關係為 \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\)。不帶下標的 \(\nabla\) 用於可由上下文判別配置，或如微小變形時配置差異消失的情況。
變形張量
| 符號 |
說明 |
| \(\boldsymbol{F}\) |
變形梯度張量：\(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) |
體積變化比：\(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) |
右 Cauchy-Green 變形張量：\(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) |
左 Cauchy-Green 變形張量：\(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) |
速度梯度張量：\(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) |
變形速率張量（\(\boldsymbol{L}\) 的對稱部分）：\(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) |
旋轉張量（\(\boldsymbol{L}\) 的反對稱部分）：\(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
應變張量
| 符號 |
說明 |
| \(\boldsymbol{E}\) |
Green-Lagrange 應變張量（基準配置）：\(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) |
Almansi 應變張量（現配置）：\(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) |
Almansi 應變張量的線性部分（現配置的對稱位移梯度）：\(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) |
微小應變張量（線性近似）：\(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
備註：\(\boldsymbol{E}\) 主要用於 Total Lagrange 法，\(\boldsymbol{D}\) 主要用於 Updated Lagrange 法。
應力張量
| 符號 |
說明 |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) |
Cauchy 應力張量（真應力，現配置）：\(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) |
第一 Piola-Kirchhoff 應力張量（名義應力）：\(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) |
第二 Piola-Kirchhoff 應力張量（基準配置，對稱）：\(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
各應力張量之間的轉換關係：
\[
\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad
\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T
\]
慣例：Total Lagrange 法使用 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) 這一組，Updated Lagrange 法使用 \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) 這一組。
密度與質量
| 符號 |
說明 |
| \(\rho\) |
現配置中的質量密度 |
| \(\rho_0\) |
基準配置中的質量密度 |
質量守恆定律：\(\rho_0 = J\rho\)。
材料常數（線性彈性體）
| 符號 |
說明 |
| \(E\) |
楊氏模數（縱向彈性係數） |
| \(\nu\) |
泊松比 |
| \(\lambda\) |
第一 Lamé 常數：\(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) |
第二 Lamé 常數（剪切模數、橫向彈性係數）：\(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) |
彈性張量（四階）：\(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\)，分量 \(C_{ijkl}\) |
| \(D\)（或 \(\hat{\tilde{C}}\)） |
材料矩陣（Voigt 表示，三維時為 \(6\times6\)）：\(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
等向性線性彈性體的彈性張量分量：
\[
C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})
\]
超彈性材料
| 符號 |
說明 |
| \(W(\boldsymbol{C})\) |
彈性位能函數（應變能密度函數） |
| \(I_1, I_2, I_3\) |
右 Cauchy-Green 張量 \(\boldsymbol{C}\) 的主不變量 |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) |
\(\boldsymbol{C}\) 的縮減不變量（分離體積變化部分） |
| \(C_1, C_2\) |
Mooney-Rivlin 模型的材料常數 |
| \(D\) |
與體積彈性相關的材料常數 |
彈塑性材料
| 符號 |
說明 |
| \(\boldsymbol{D}^e\) |
變形速率張量的彈性分量 |
| \(\boldsymbol{D}^p\) |
變形速率張量的塑性分量 |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) |
降伏函數 |
| \(\kappa\) |
表示塑性狀態的內部變數（等向硬化變數） |
| \(\lambda^p\) |
塑性乘數（塑性應變速率乘數）：\(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) |
塑性位能（相關流動法則中 \(\Theta = F\)） |
| \(\bar{\sigma}\) |
等效應力（例如 von Mises 應力） |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) |
等效塑性應變 |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) |
等向硬化函數 |
互補條件：\(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\)，\(\lambda^p \geq 0\)，\(F \leq 0\)。
有限元素法
| 符號 |
說明 |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) |
由有限元素離散近似的現配置與基準配置區域：\(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) |
元素在現配置與基準配置中的區域 |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) |
元素邊界中屬於力學邊界的部分 |
| \(\boldsymbol{r}\) |
自然座標（元素的局部座標） |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) |
對應於節點 \(\alpha\) 的自然座標點 |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) |
對應於元素 \(e\) 之節點 \(\alpha\) 的形狀函數 |
| \(n_e\) |
構成元素的節點數 |
| \(n_g\) |
全域節點總數 |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) |
元素節點 \(\alpha\) 的座標與位移 |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) |
元素節點座標與位移向量：\(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) 等 |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) |
全域節點座標與位移向量（依節點編號 → 自由度的順序排列） |
| \(\boldsymbol{B}\) |
應變－位移關係矩陣（B 矩陣） |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) |
形狀函數矩陣：\(\boldsymbol{N}_\alpha\) 是將節點 \(\alpha\) 的形狀函數 \(N_\alpha^e\) 置於對角線上的 \(d \times d\) 區塊，\(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)。\(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) |
元素剛性矩陣 |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) |
元素剛性矩陣的被積分項（分別以基準配置與現配置表示）：\(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\)（TL 法），\(\boldsymbol{q}^e\)（UL 法） |
元素內力向量 |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) |
作用於元素節點 \(\alpha\) 的節點外力，以及元素節點外力向量：\(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) |
全域內力向量與全域外力向量：\(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)，\(\boldsymbol{F}\) 亦同 |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) |
全域節點 \(i_g\) 的節點內力與節點外力（\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) 的節點區塊） |
| \(\boldsymbol{K}\) |
全域切線剛性矩陣：\(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\)。將 \(3\times 3\) 區塊 \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) 配置於第 \(i_g\) 列、第 \(i_h\) 欄所構成的矩陣 |
| \(\boldsymbol{R}_i\) |
Newton-Raphson 迭代中的殘差向量：\(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) |
Newton-Raphson 迭代的修正量（在第 \(i\) 次迭代中解線性方程式 \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) 所得） |
| \(i_g\) |
全域節點編號（\(1 \leq i_g \leq n_g\)） |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) |
對應於元素 \(e\) 的元素內節點編號 \(\alpha\) 的全域節點編號：\(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) |
對應於全域節點編號 \(i_g\) 的 \((e, \alpha)\) 組合集合：\(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\)。用於組裝操作 |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) |
對應於全域節點編號對 \((i_g, i_h)\) 的 \((e, \alpha, \beta)\) 組合集合：用於剛性矩陣組裝 |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) |
關於元素構成節點的索引 |
| \(i, j, k, l, \ldots\) |
關於自由度的索引（三維時為 \(1, 2, 3\)） |
高性能元素與結構元素
| 符號 |
說明 |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) |
B-bar 法中已修正體積部分的應變－位移關係矩陣（以元素中心評估的 B 矩陣取代體積分量） |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) |
F-bar 法中已修正體積部分的變形梯度：\(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) |
在元素中心 \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) 評估的變形梯度體積比：\(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) |
非相容模態元素中的內部自由度向量（不在元素邊界保證連續性的附加位移模態係數） |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) |
非相容模態的形狀函數：\(M_1=1-\xi^2\)，\(M_2=1-\eta^2\)，\(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) |
殼元素的板厚 |
| \(A\) |
梁元素截面的截面積 |
| \(I\) |
梁元素截面的面積二次矩 |
| \(G\) |
剪切模數：\(G = E/[2(1+\nu)]\) |
相關項目