Lewati ke isi

Daftar Simbol Besaran Fisik

Halaman ini mencantumkan simbol besaran fisik yang digunakan dalam manual teori FrontISTR. Untuk konvensi notasi (notasi tebal untuk vektor dan tensor, konvensi penjumlahan Einstein, dan notasi Voigt), lihat Notasi Tensor dan Dasar Matematika.

Konfigurasi dan Sistem Koordinat

Simbol Deskripsi
\(\boldsymbol{X}\) Vektor posisi titik material pada konfigurasi referensi (awal) (koordinat material)
\(\boldsymbol{x}\) Vektor posisi titik material pada konfigurasi saat ini (koordinat spasial)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Pemetaan gerak: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Domain yang ditempati benda pada konfigurasi referensi
\(\Omega\) Domain yang ditempati benda pada konfigurasi saat ini
\(\Gamma_0\) Batas dari \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Batas dari \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Batas geometrik (perpindahan): batas pada konfigurasi saat ini/referensi tempat \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ditentukan
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Batas mekanis: batas pada konfigurasi saat ini/referensi tempat \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (atau \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) ditentukan
\(\boldsymbol{n}\) Vektor normal satuan keluar terhadap permukaan pada konfigurasi saat ini
\(\boldsymbol{N}\) Vektor normal satuan keluar terhadap permukaan pada konfigurasi referensi
\(t\) Waktu

Konvensi: Besaran fisik pada konfigurasi referensi dinyatakan dengan huruf besar atau subskrip \(0\), sedangkan besaran pada konfigurasi saat ini dinyatakan dengan huruf kecil.

Waktu dan Inkrement (Analisis Inkremental)

Simbol Deskripsi
\(\Delta t\) Inkrement waktu: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Besaran fisik pada waktu \(t\) (superskrip kiri). Contoh: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) adalah tegangan Cauchy pada waktu \(t\)
\(^{t}\Omega\) Domain konfigurasi saat ini pada waktu \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Batas konfigurasi saat ini pada waktu \(t\)

Konvensi: Dalam analisis inkremental, keadaan hingga waktu \(t\) diperlakukan sebagai diketahui, dan keadaan pada waktu \(t + \Delta t\) diselesaikan sebagai tidak diketahui. Superskrip kiri dihilangkan jika waktu tidak perlu dinyatakan secara eksplisit. Formulasi yang menggunakan konfigurasi referensi \(\Omega_0\) sebagai acuan disebut formulasi Total Lagrange, sedangkan formulasi yang menggunakan konfigurasi saat ini \(^{t}\Omega\) pada awal inkrement sebagai acuan disebut formulasi Updated Lagrange.

Perpindahan, Kecepatan, Percepatan, dan Gaya Benda

Simbol Deskripsi
\(\boldsymbol{u}\) Vektor perpindahan: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Perpindahan yang ditentukan pada batas geometrik \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Perpindahan virtual (fungsi uji): pada \(\Gamma_B\), \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) Vektor kecepatan: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vektor percepatan: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Gaya benda (per satuan massa)
\(\boldsymbol{t}\) Vektor traksi (per satuan luas): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Traksi yang ditentukan pada batas mekanis \(\Gamma_t\) (data Neumann)

Operator Diferensial

Simbol Deskripsi
\(\dot{(\cdot)}\) Turunan material terhadap waktu (turunan waktu yang mengikuti titik material yang sama): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradien konfigurasi referensi (gradien terhadap koordinat material \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradien konfigurasi saat ini (gradien terhadap koordinat spasial \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operator gradien simetris: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Catatan: \(\nabla_X\) dan \(\nabla_x\) berhubungan melalui \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradien tanpa subskrip, \(\nabla\), digunakan jika konfigurasi jelas dari konteks atau jika pembedaan tidak diperlukan, seperti pada masalah deformasi kecil.

Tensor Deformasi

Simbol Deskripsi
\(\boldsymbol{F}\) Tensor gradien deformasi: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Rasio volume: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Tensor deformasi Cauchy-Green kanan: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Tensor deformasi Cauchy-Green kiri: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensor gradien kecepatan: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensor laju deformasi (bagian simetris dari \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensor spin (bagian antisimetri dari \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensor Regangan

Simbol Deskripsi
\(\boldsymbol{E}\) Tensor regangan Green-Lagrange (konfigurasi referensi): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensor regangan Almansi (konfigurasi saat ini): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Bagian linear tensor regangan Almansi (gradien perpindahan simetris pada konfigurasi saat ini): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensor regangan infinitesimal (pendekatan linear): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Catatan: \(\boldsymbol{E}\) terutama digunakan dalam formulasi Total Lagrange, sedangkan \(\boldsymbol{D}\) terutama digunakan dalam formulasi Updated Lagrange.

Tensor Tegangan

Simbol Deskripsi
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensor tegangan Cauchy (tegangan sejati, konfigurasi saat ini): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Tensor tegangan Piola-Kirchhoff pertama (tegangan nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Tensor tegangan Piola-Kirchhoff kedua (konfigurasi referensi, simetris): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Hubungan konversi antar-tensor tegangan:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvensi: Formulasi Total Lagrange menggunakan pasangan \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), sedangkan formulasi Updated Lagrange menggunakan pasangan \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Massa Jenis dan Massa

Simbol Deskripsi
\(\rho\) Massa jenis pada konfigurasi saat ini
\(\rho_0\) Massa jenis pada konfigurasi referensi

Kekekalan massa: \(\rho_0 = J\rho\).

Konstanta Material (Elastisitas Linear)

Simbol Deskripsi
\(E\) Modulus Young
\(\nu\) Rasio Poisson
\(\lambda\) Konstanta Lamé pertama: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Konstanta Lamé kedua (modulus geser): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensor elastisitas (orde keempat): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponen \(C_{ijkl}\)
\(D\) (atau \(\hat{\tilde{C}}\)) Matriks material (notasi Voigt, \(6\times6\) dalam 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponen tensor elastisitas untuk material elastik linear isotropik:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Material Hiperelastik

Simbol Deskripsi
\(W(\boldsymbol{C})\) Fungsi potensial elastik (fungsi kerapatan energi regangan)
\(I_1, I_2, I_3\) Invarian utama tensor Cauchy-Green kanan \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Invarian tereduksi dari \(\boldsymbol{C}\) (perubahan volume dipisahkan)
\(C_1, C_2\) Konstanta material model Mooney-Rivlin
\(D\) Konstanta material yang berkaitan dengan elastisitas volumetrik

Material Elastoplastik

Simbol Deskripsi
\(\boldsymbol{D}^e\) Komponen elastik tensor laju deformasi
\(\boldsymbol{D}^p\) Komponen plastis tensor laju deformasi
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Fungsi luluh
\(\kappa\) Variabel internal yang merepresentasikan keadaan plastis (variabel pengerasan isotropik)
\(\lambda^p\) Pengali plastis (pengali laju regangan plastis): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potensial plastis (\(\Theta = F\) untuk aturan alir terkait)
\(\bar{\sigma}\) Tegangan ekuivalen (misalnya, tegangan von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Regangan plastis ekuivalen
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Fungsi pengerasan isotropik

Kondisi komplementaritas: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metode Elemen Hingga

Simbol Deskripsi
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Domain pada konfigurasi saat ini dan referensi yang didekati dengan diskretisasi elemen hingga: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Domain elemen pada konfigurasi saat ini dan referensi
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Bagian batas elemen yang termasuk dalam batas mekanis
\(\boldsymbol{r}\) Koordinat natural (koordinat lokal elemen)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Titik dalam koordinat natural yang bersesuaian dengan node \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Fungsi bentuk pada elemen \(e\) yang bersesuaian dengan node \(\alpha\)
\(n_e\) Jumlah node penyusun elemen
\(n_g\) Jumlah total node global
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinat dan perpindahan node elemen \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vektor koordinat nodal dan perpindahan elemen: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), dan seterusnya
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Vektor koordinat nodal dan perpindahan global (diurutkan berdasarkan nomor node, lalu derajat kebebasan)
\(\boldsymbol{B}\) Matriks hubungan regangan-perpindahan (matriks B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matriks fungsi bentuk: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) untuk node \(\alpha\) menempatkan fungsi bentuk \(N_\alpha^e\) secara diagonal dalam blok \(d \times d\), dan \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matriks kekakuan elemen
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integran matriks kekakuan elemen (dinyatakan dalam konfigurasi referensi dan saat ini): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulasi TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulasi UL) Vektor gaya internal elemen
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Gaya eksternal nodal yang bekerja pada node elemen \(\alpha\), dan vektor gaya eksternal nodal elemen: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Vektor gaya internal global dan vektor gaya eksternal global: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); demikian pula untuk \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Gaya internal nodal dan gaya eksternal nodal pada node global \(i_g\) (blok nodal dari \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Matriks kekakuan tangen global: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriks dibentuk dengan menempatkan blok \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) pada baris \(i_g\), kolom \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vektor residual dalam iterasi Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Koreksi dalam iterasi Newton-Raphson (pada iterasi ke-\(i\), diperoleh dengan menyelesaikan persamaan linear \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\))
\(i_g\) Nomor node global (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Nomor node global yang bersesuaian dengan nomor node lokal pada elemen \(e\), yaitu \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Untuk nomor node global \(i_g\), himpunan pasangan yang bersesuaian adalah \((e, \alpha)\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Digunakan dalam operasi assembly
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Untuk pasangan nomor node global \((i_g, i_h)\), himpunan tuple yang bersesuaian adalah \((e, \alpha, \beta)\); digunakan untuk assembly matriks kekakuan
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indeks untuk node penyusun elemen
\(i, j, k, l, \ldots\) Indeks untuk derajat kebebasan (\(1, 2, 3\) dalam 3D)

Elemen Lanjutan dan Elemen Struktur

Simbol Deskripsi
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matriks hubungan regangan-perpindahan dengan bagian volumetriknya dimodifikasi oleh metode B-bar (komponen volumetrik diganti dengan matriks B yang dievaluasi di pusat elemen)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradien deformasi dengan bagian volumetriknya dimodifikasi oleh metode F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Rasio volume gradien deformasi yang dievaluasi di pusat elemen \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor derajat kebebasan internal untuk elemen incompatible-mode (koefisien mode perpindahan tambahan yang tidak memberlakukan kontinuitas pada batas elemen)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Fungsi bentuk untuk incompatible mode: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Ketebalan elemen shell
\(A\) Luas penampang elemen beam
\(I\) Momen kedua luas penampang elemen beam
\(G\) Modulus geser: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Topik Terkait