Tegangan dan Hukum Kekekalan¶

Bab ini menyusun definisi dan hubungan antartensor tegangan, bersama dengan persamaan keseimbangan dan simetri tegangan yang diturunkan dari kekekalan massa, momentum linear, dan momentum sudut. Tiga tensor tegangan—tegangan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), tegangan Piola-Kirchhoff pertama \(\boldsymbol{P}\), dan tegangan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\)—diperkenalkan berdasarkan konfigurasi yang digunakan untuk permukaan acuan dan vektor gaya. Lihat Gerak, Deformasi, dan Regangan untuk definisi konfigurasi, gerak, dan gradien deformasi, serta Daftar Simbol Besaran Fisis untuk daftar simbol.

Tensor Tegangan Cauchy¶

Misalkan \(d\boldsymbol{f}\) adalah gaya yang bekerja pada permukaan infinitesimal di titik \(\boldsymbol{x}\) dalam konfigurasi saat ini (luas \(d\Gamma\), normal satuan keluar \(\boldsymbol{n}\)), dan definisikan vektor traksi \(\boldsymbol{t}\) sebagai gaya per satuan luas melalui \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) bergantung pada posisi \(\boldsymbol{x}\) dan normal \(\boldsymbol{n}\). Penerapan kekekalan momentum pada tetrahedron infinitesimal menunjukkan bahwa \(\boldsymbol{t}\) linear terhadap \(\boldsymbol{n}\), sehingga terdapat tensor orde dua \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) sedemikian sehingga

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

untuk setiap \(\boldsymbol{n}\) (teorema tegangan Cauchy). Tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) ini disebut tensor tegangan Cauchy, dan juga disebut tegangan sejati karena menyatakan gaya per satuan luas yang diukur terhadap geometri konfigurasi saat ini. Komponen \(\sigma_{ij}\) menyatakan komponen \(x_i\) dari gaya per satuan luas yang bekerja pada permukaan infinitesimal yang normal terhadap sumbu koordinat \(x_j\) dalam konfigurasi saat ini.

Seperti ditunjukkan kemudian dari kekekalan momentum sudut, tegangan Cauchy merupakan tensor simetris:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Karena itu, dalam tiga dimensi tensor ini memiliki enam komponen independen (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorisasi tegangan dalam notasi Voigt mengasumsikan simetri ini (lihat Notasi Tensor dan Dasar Matematika). Tegangan Cauchy digunakan untuk output tegangan pada analisis nonlinier geometrik FrontISTR dengan metode Updated Lagrange dan pada analisis deformasi kecil.

Tegangan Piola-Kirchhoff Pertama dan Kedua¶

Untuk deformasi hingga, sering kali lebih mudah menyatakan tegangan dengan mengacu pada permukaan dan vektor dalam konfigurasi acuan, sehingga diperkenalkan dua tensor tegangan Piola-Kirchhoff. Misalkan luas permukaan infinitesimal dalam konfigurasi acuan adalah \(d\Gamma_0\) dan normal satuan keluarnya adalah \(\boldsymbol{N}\).

Tegangan Piola-Kirchhoff pertama (tegangan PK pertama, tegangan nominal) \(\boldsymbol{P}\) didefinisikan sebagai tensor tegangan yang diperoleh ketika gaya \(d\boldsymbol{f}\) dalam konfigurasi saat ini diterapkan pada permukaan infinitesimal dalam konfigurasi acuan:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Menggunakan rumus Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) bersama dengan teorema tegangan Cauchy memberikan hubungan dengan tegangan Cauchy

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Tegangan PK pertama pada umumnya tidak simetris.

Tegangan Piola-Kirchhoff kedua (tegangan PK kedua) \(\boldsymbol{S}\) didefinisikan sebagai tensor tegangan yang diperoleh dengan menarik kembali gaya konfigurasi saat ini \(d\boldsymbol{f}\) ke konfigurasi acuan menggunakan \(\boldsymbol{F}^{-1}\) dan menerapkannya pada permukaan infinitesimal dalam konfigurasi acuan:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Baik vektor gaya maupun permukaan tempat gaya bekerja dinyatakan dalam besaran konfigurasi acuan, sehingga tidak berubah terhadap rotasi benda tegar dan bersifat simetris. Hubungannya dengan tegangan PK pertama serta transformasinya dari tegangan Cauchy adalah

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Tegangan PK kedua diturunkan dari fungsi energi-regangan hiperelastik \(W(\boldsymbol{C})\) sebagai \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) dan, dalam metode Total Lagrange, digunakan bersama regangan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) sebagai pasangan konjugat kerja \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Konfigurasi acuan dan sifat simetrinya dirangkum di bawah ini. Pada batas deformasi kecil (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), ketiga tegangan berimpit.

Tensor tegangan	Permukaan acuan	Vektor gaya	Simetri	Penerapan
Tegangan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	Konfigurasi saat ini \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Konfigurasi saat ini \(d\boldsymbol{f}\)	Simetris	Metode Updated Lagrange / analisis deformasi kecil
Tegangan PK pertama \(\boldsymbol{P}\)	Konfigurasi acuan \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Konfigurasi saat ini \(d\boldsymbol{f}\)	Umumnya tidak simetris	Persamaan keseimbangan dalam konfigurasi acuan
Tegangan PK kedua \(\boldsymbol{S}\)	Konfigurasi acuan \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Konfigurasi acuan \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetris	Metode Total Lagrange / hiperelastisitas

Kekekalan Massa dan Momentum serta Persamaan Keseimbangan¶

Misalkan \(\rho\) adalah densitas massa dalam konfigurasi saat ini dan \(\rho_0\) adalah densitas massa dalam konfigurasi acuan. Hukum kekekalan massa \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), bersama dengan transformasi elemen volume \(dv = J\, dV\), menjadi bentuk lokal

\[ \rho_0 = J \rho \]

Ini adalah hubungan lokal kekekalan massa.

Misalkan \(\boldsymbol{g}\) adalah gaya badan per satuan massa dan \(\boldsymbol{a}\) adalah percepatan. Dengan menerapkan teorema tegangan Cauchy dan teorema divergensi Gauss pada kekekalan momentum linear (hukum gerak pertama Euler), diperoleh persamaan keseimbangan (persamaan gerak) lokal dalam konfigurasi saat ini:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Menuliskan kembali integral dalam konfigurasi acuan menggunakan rumus Nanson dan \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) memberikan bentuk lokal dalam konfigurasi acuan:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Kedua bentuk tersebut ekuivalen melalui aturan transformasi tegangan dan \(\rho_0 = J\rho\). Dengan mengabaikan suku inersia diperoleh

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

yang merupakan persamaan keseimbangan statik dan menjadi titik awal analisis statik FrontISTR (linier maupun nonlinier).

Kekekalan Momentum Sudut dan Simetri Tegangan¶

Menggabungkan kekekalan momentum sudut (hukum gerak kedua Euler) dengan persamaan keseimbangan dari kekekalan momentum linear menghasilkan simetri tensor tegangan Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Dengan demikian, tensor ini memiliki enam komponen independen dalam tiga dimensi. Mengambil transpose kedua sisi transformasi \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) dan menggunakan ketaknonsingularan \(\boldsymbol{F}\) menunjukkan bahwa tegangan PK kedua juga simetris:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

dan karena itu juga memiliki enam komponen independen. Sebaliknya, tegangan PK pertama \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) pada umumnya tidak simetris; hanya hubungan \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) yang berlaku (yaitu, \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) simetris), dan tensor ini memiliki sembilan komponen independen.

Simetri ini menjadi dasar untuk menyatakan tegangan sebagai vektor enam komponen dalam notasi Voigt. Lihat Notasi Tensor dan Dasar Matematika dan Elastisitas Linier untuk konvensi notasi Voigt dan penyusunan matriks material.