Naprężenie i prawa zachowania¶
W tym rozdziale uporządkowano definicje i wzajemne zależności tensorów naprężenia wraz z równaniami równowagi i symetrią naprężenia wynikającymi z zachowania masy, pędu i momentu pędu. Trzy tensory naprężenia — naprężenie Cauchy’ego \(\boldsymbol{\sigma}\), pierwszy tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa \(\boldsymbol{P}\) oraz drugi tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa \(\boldsymbol{S}\) — wprowadza się zależnie od tego, która konfiguracja jest używana dla powierzchni odniesienia i wektora siły. Definicje konfiguracji, ruchu i gradientu deformacji podano w Ruchu, deformacji i odkształceniu, a listę symboli w Liście symboli wielkości fizycznych.
Tensor naprężenia Cauchy’ego¶
W punkcie \(\boldsymbol{x}\) konfiguracji bieżącej rozważmy nieskończenie małą powierzchnię (pole \(d\Gamma\), zewnętrzna normalna jednostkowa \(\boldsymbol{n}\)), na którą działa siła \(d\boldsymbol{f}\), i zdefiniujmy wektor naprężenia powierzchniowego \(\boldsymbol{t}\) jako siłę na jednostkę pola przez \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) zależy zarówno od położenia \(\boldsymbol{x}\), jak i normalnej \(\boldsymbol{n}\). Zastosowanie zasady zachowania pędu do nieskończenie małego czworościanu pokazuje, że \(\boldsymbol{t}\) zależy liniowo od \(\boldsymbol{n}\), a zatem istnieje tensor drugiego rzędu \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) taki, że
dla dowolnego \(\boldsymbol{n}\) (twierdzenie Cauchy’ego o naprężeniu). Tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) nazywa się tensorem naprężenia Cauchy’ego, a także naprężeniem rzeczywistym, ponieważ przedstawia siłę na jednostkę pola mierzoną względem geometrii konfiguracji bieżącej. Składowa \(\sigma_{ij}\) przedstawia, dla nieskończenie małej powierzchni prostopadłej do osi współrzędnych \(x_j\) w konfiguracji bieżącej, składową \(x_i\) siły działającej na jednostkę pola.
Jak pokazano dalej na podstawie zasady zachowania momentu pędu, naprężenie Cauchy’ego jest tensorem symetrycznym:
W trzech wymiarach ma zatem sześć niezależnych składowych (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Wektoryzacja naprężenia w notacji Voigta zakłada tę symetrię (zob. Notacja tensorowa i podstawy matematyczne). Naprężenie Cauchy’ego jest używane do wyprowadzania naprężeń w geometrycznie nieliniowej analizie FrontISTR metodą Updated Lagrange oraz w analizie małych odkształceń.
Pierwszy i drugi tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa¶
W przypadku skończonych deformacji często wygodnie jest wyrażać naprężenie względem powierzchni i wektorów w konfiguracji odniesienia, dlatego wprowadza się dwa tensory naprężenia Pioli-Kirchhoffa. Niech pole nieskończenie małej powierzchni w konfiguracji odniesienia wynosi \(d\Gamma_0\), a jej zewnętrzna normalna jednostkowa — \(\boldsymbol{N}\).
Pierwszy tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa (pierwsze naprężenie PK, naprężenie nominalne) \(\boldsymbol{P}\) definiuje się jako tensor naprężenia otrzymany, gdy siła \(d\boldsymbol{f}\) w konfiguracji bieżącej działa na nieskończenie małą powierzchnię w konfiguracji odniesienia:
Zastosowanie wzoru Nansona \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) wraz z twierdzeniem Cauchy’ego o naprężeniu daje zależność od naprężenia Cauchy’ego
Pierwsze naprężenie PK jest na ogół niesymetryczne.
Drugi tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa (drugie naprężenie PK) \(\boldsymbol{S}\) definiuje się jako tensor naprężenia otrzymany przez cofnięcie siły \(d\boldsymbol{f}\) z konfiguracji bieżącej do konfiguracji odniesienia za pomocą \(\boldsymbol{F}^{-1}\) i przyłożenie jej do nieskończenie małej powierzchni w konfiguracji odniesienia:
Zarówno wektor siły, jak i powierzchnia, na którą działa, są wyrażone wielkościami konfiguracji odniesienia, dzięki czemu tensor jest niezmienniczy względem obrotu bryły sztywnej i symetryczny. Jego zależność od pierwszego naprężenia PK oraz transformacja z naprężenia Cauchy’ego mają postać
Drugie naprężenie PK wyprowadza się z hipersprężystej funkcji energii odkształcenia \(W(\boldsymbol{C})\) jako \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) i w metodzie Total Lagrange stosuje się je wraz z odkształceniem Greena-Lagrange’a \(\boldsymbol{E}\) jako parę sprzężoną energetycznie \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
Konfiguracje odniesienia i własności symetrii zestawiono poniżej. W granicy małych odkształceń (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) trzy naprężenia są zgodne.
| Tensor naprężenia | Powierzchnia odniesienia | Wektor siły | Symetria | Zastosowanie |
|---|---|---|---|---|
| Naprężenie Cauchy’ego \(\boldsymbol{\sigma}\) | Konfiguracja bieżąca \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Konfiguracja bieżąca \(d\boldsymbol{f}\) | Symetryczne | Metoda Updated Lagrange / analiza małych odkształceń |
| Pierwsze naprężenie PK \(\boldsymbol{P}\) | Konfiguracja odniesienia \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Konfiguracja bieżąca \(d\boldsymbol{f}\) | Na ogół niesymetryczne | Równania równowagi w konfiguracji odniesienia |
| Drugie naprężenie PK \(\boldsymbol{S}\) | Konfiguracja odniesienia \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Konfiguracja odniesienia \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Symetryczne | Metoda Total Lagrange / hipersprężystość |
Zachowanie masy i pędu oraz równania równowagi¶
Niech \(\rho\) oznacza gęstość masy w konfiguracji bieżącej, a \(\rho_0\) gęstość masy w konfiguracji odniesienia. Prawo zachowania masy \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), wraz z transformacją elementu objętości \(dv = J\, dV\), sprowadza się do postaci lokalnej
Jest to lokalna zależność wynikająca z zachowania masy.
Niech \(\boldsymbol{g}\) będzie siłą objętościową na jednostkę masy, a \(\boldsymbol{a}\) przyspieszeniem. Zastosowanie twierdzenia Cauchy’ego o naprężeniu i twierdzenia Gaussa o dywergencji do zasady zachowania pędu (pierwszego prawa ruchu Eulera) daje lokalne równanie równowagi (równanie ruchu) w konfiguracji bieżącej:
Przepisanie całki w konfiguracji odniesienia z użyciem wzoru Nansona oraz \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) daje postać lokalną w konfiguracji odniesienia:
Obie postacie są równoważne poprzez regułę transformacji naprężenia i \(\rho_0 = J\rho\). Po pominięciu składnika bezwładności otrzymuje się
co jest statycznym równaniem równowagi i stanowi punkt wyjścia statycznej analizy FrontISTR (liniowej i nieliniowej).
Zachowanie momentu pędu i symetria naprężenia¶
Połączenie zasady zachowania momentu pędu (drugiego prawa ruchu Eulera) z równaniem równowagi wynikającym z zachowania pędu prowadzi do symetrii tensora naprężenia Cauchy’ego:
W trzech wymiarach ma on zatem sześć niezależnych składowych. Transpozycja obu stron transformacji \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) i wykorzystanie nieosobliwości \(\boldsymbol{F}\) pokazują, że drugi tensor naprężenia PK również jest symetryczny:
a zatem również ma sześć niezależnych składowych. W przeciwieństwie do niego pierwsze naprężenie PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) na ogół nie jest symetryczne; zachodzi jedynie relacja \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (to znaczy \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) jest symetryczne), a tensor ma dziewięć niezależnych składowych.
Symetrie te stanowią podstawę przedstawiania naprężenia jako wektora sześcioskładowego w notacji Voigta. Konwencje notacji Voigta i konstrukcję macierzy materiałowych opisano w Notacji tensorowej i podstawach matematycznych oraz Sprężystości liniowej.