Przejdź do treści

Pochodne przestrzenne funkcji kształtu

Funkcje kształtu \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) wprowadzone w sekcji Funkcje kształtu i aproksymacja metodą elementów skończonych są podane jako funkcje współrzędnych naturalnych \(\boldsymbol{r}\), czyli lokalnych współrzędnych elementu. Z drugiej strony, poprzez zależność odkształcenie-przemieszczenie, całkowane wyrażenia w postaci słabej zawierają pochodne cząstkowe względem współrzędnych fizycznych (konfiguracji odniesienia \(\boldsymbol{X}\) lub konfiguracji aktualnej \(\boldsymbol{x}\)), czyli \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) lub \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). W tej sekcji uporządkowano procedurę obliczania tych pochodnych przestrzennych funkcji kształtu na podstawie współrzędnych węzłów elementu i pochodnych względem współrzędnych naturalnych.

Wyrażenie pochodnych przestrzennych za pomocą reguły łańcuchowej

Zastosowanie reguły łańcuchowej do wzoru interpolacyjnego \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (poprzednia sekcja) i wykorzystanie macierzy Jacobiego \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) odwzorowania ze współrzędnych naturalnych do współrzędnych fizycznych daje

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Tutaj \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) i \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) są macierzami, w których wiersz \(\alpha\) reprezentuje wektor pochodnych cząstkowych dla węzła \(\alpha\); każda z nich jest macierzą \(n_e \times 3\).

Konstrukcja macierzy Jacobiego

Różniczkując wzór interpolacyjny względem \(\boldsymbol{r}\), otrzymujemy

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Macierz Jacobiego można więc zbudować bezpośrednio ze współrzędnych węzłów elementu \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) i pochodnych względem współrzędnych naturalnych \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Pochodne względem współrzędnych naturalnych są określone przez postać funkcjonalną funkcji kształtu i są z góry zaimplementowane dla każdego typu elementu.

Wyznacznik macierzy Jacobiego \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) jest używany w całkowaniu numerycznym do transformacji elementu objętości jako \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Jeśli wyznacznik stanie się równy \(0\), element jest zdegenerowany i obliczenie kończy się niepowodzeniem.

Przebieg obliczeń

Z powyższego wyprowadzenia wynika, że obliczanie pochodnych przestrzennych \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) można podzielić na następujące cztery etapy.

  1. Obliczenie pochodnych względem współrzędnych naturalnych: Na podstawie typu elementu i współrzędnych naturalnych \(\boldsymbol{r}\) punktu oceny oblicza się macierz pochodnych względem współrzędnych naturalnych \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Ponieważ postać funkcjonalna funkcji kształtu zależy od typu elementu, przebieg obliczeń rozgałęzia się zależnie od typu elementu.
  2. Obliczenie macierzy Jacobiego: Ze współrzędnych węzłów elementu \(\boldsymbol{X}^e\) i \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) buduje się macierz Jacobiego \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) za pomocą równania z poprzedniej sekcji.
  3. Obliczenie macierzy odwrotnej i wyznacznika: Oblicza się macierz odwrotną \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) oraz wyznacznik macierzy Jacobiego. Wyznacznik jest używany w wagach całkowania numerycznego.
  4. Obliczenie pochodnych przestrzennych: Z \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) i \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) otrzymuje się pochodne przestrzenne \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) jako ich iloczyn.

Te cztery etapy rozgałęziają się zależnie od typu elementu i wymiaru przestrzeni (dwa lub trzy wymiary), ale ogólny przebieg jest wspólny.

Wspólna obsługa konfiguracji odniesienia i konfiguracji aktualnej

Powyższą procedurę można również zastosować, po prostu zastępując \(\boldsymbol{X}^e\) aktualnymi współrzędnymi węzłów \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), aby uzyskać pochodne przestrzenne \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) w konfiguracji aktualnej. Dzięki temu ta sama procedura może być współdzielona przez sformułowania Total Lagrangian i Updated Lagrangian, a jedyną zmianą są wejściowe współrzędne węzłów.

Tematy powiązane