Lewati ke isi

Turunan Spasial Fungsi Bentuk

Fungsi bentuk \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) yang diperkenalkan dalam Fungsi Bentuk dan Aproksimasi Elemen Hingga diberikan sebagai fungsi dari koordinat natural \(\boldsymbol{r}\), yaitu koordinat lokal suatu elemen. Di sisi lain, melalui hubungan regangan-perpindahan, integran dalam bentuk lemah memuat turunan parsial terhadap koordinat fisik (konfigurasi referensi \(\boldsymbol{X}\) atau konfigurasi saat ini \(\boldsymbol{x}\)), yaitu \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) atau \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Bagian ini menyusun prosedur untuk menghitung turunan spasial fungsi bentuk tersebut dari koordinat node elemen dan turunan terhadap koordinat natural.

Ekspresi Turunan Spasial dengan Aturan Rantai

Dengan menerapkan aturan rantai pada rumus interpolasi \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (bagian sebelumnya), dan menggunakan matriks Jacobian \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) dari pemetaan koordinat natural ke koordinat fisik, diperoleh

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Di sini, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) dan \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) adalah matriks yang baris \(\alpha\)-nya merepresentasikan vektor turunan parsial untuk node \(\alpha\); masing-masing merupakan matriks \(n_e \times 3\).

Pembentukan Matriks Jacobian

Mendiferensiasikan rumus interpolasi terhadap \(\boldsymbol{r}\) menghasilkan

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Dengan demikian, matriks Jacobian dapat dibentuk langsung dari koordinat node elemen \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) dan turunan koordinat natural \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Turunan koordinat natural ditentukan oleh bentuk fungsional fungsi bentuk dan diimplementasikan terlebih dahulu untuk setiap tipe elemen.

Determinan matriks Jacobian \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) digunakan dalam integrasi numerik untuk mentransformasikan elemen volume sebagai \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Jika determinan menjadi \(0\), elemen mengalami degenerasi dan perhitungan gagal.

Alur Perhitungan

Dari penurunan di atas, perhitungan turunan spasial \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) dapat dibagi menjadi empat tahap berikut.

  1. Menghitung turunan koordinat natural: Dengan tipe elemen dan koordinat natural \(\boldsymbol{r}\) dari titik evaluasi sebagai input, hitung matriks turunan koordinat natural \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Karena bentuk fungsional fungsi bentuk berbeda menurut tipe elemen, pemrosesan bercabang sesuai tipe elemen.
  2. Menghitung matriks Jacobian: Dari koordinat node elemen \(\boldsymbol{X}^e\) dan \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), susun matriks Jacobian \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) menggunakan persamaan pada bagian sebelumnya.
  3. Menghitung matriks invers dan determinan: Hitung invers \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) dan determinan matriks Jacobian. Determinan digunakan dalam pembobotan integrasi numerik.
  4. Menghitung turunan spasial: Dari \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) dan \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\), peroleh turunan spasial \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) sebagai hasil kalinya.

Keempat tahap ini bercabang menurut tipe elemen dan dimensi spasial (dua atau tiga dimensi), tetapi alur keseluruhannya sama.

Penanganan Bersama Konfigurasi Referensi dan Konfigurasi Saat Ini

Prosedur di atas juga dapat diterapkan cukup dengan mengganti \(\boldsymbol{X}^e\) dengan koordinat node saat ini \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) untuk memperoleh turunan spasial \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) dalam konfigurasi saat ini. Dengan demikian, prosedur yang sama dapat digunakan bersama antara formulasi Total Lagrangian dan Updated Lagrangian hanya dengan mengganti koordinat node input.

Topik Terkait