Lewati ke isi

Integrasi Numerik

Vektor gaya internal elemen \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) dan matriks kekakuan elemen \(\boldsymbol{K}^e\) yang diperoleh dalam Diskretisasi Kerja Virtual Internal dan Kerja Virtual Eksternal dan Perakitan Persamaan Global berbentuk integral pada domain elemen \(\Omega^e\) atau \(\Omega^e_0\). FrontISTR mengevaluasinya secara numerik menggunakan kuadratur Gauss.

Kuadratur Gauss dan Perubahan Variabel

Kuadratur Gauss mengaproksimasi integral pada domain referensi \(\Xi\) dengan kombinasi linear nilai integran pada titik integrasi \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) dan bobot \(w_i\). Penerapannya pada domain elemen \(\Omega^e\) melibatkan perubahan variabel melalui pemetaan \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), sehingga diperoleh

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

di mana \(n_q\) adalah jumlah titik integrasi dan \(J_{\xi_i}\) adalah determinan Jacobian transformasi. Domain referensi \(\Xi\) didefinisikan untuk setiap jenis elemen (untuk heksahedron, \([-1,1]^3\); untuk segitiga, tetrahedron, dan wedge, bentuk referensi yang bersesuaian), dan titik integrasi \(\boldsymbol{\xi}_i\) serta bobot \(w_i\) diberikan sebagai tabel numerik. Integral permukaan ditangani dalam bentuk yang sama dengan memetakan muka elemen dari domain referensi dua dimensi.

Jumlah representatif titik integrasi yang digunakan oleh FrontISTR ditunjukkan di bawah ini (untuk korespondensi dengan jenis elemen, lihat Skema Penomoran Elemen dan Pustaka Fungsi Bentuk).

Jenis elemen Aturan kuadratur Jumlah titik integrasi
Tetrahedron 4-node (tet4n) Aturan 1 titik 1
Tetrahedron 10-node (tet10n) Aturan 4 titik 4
Prisma segitiga 6-node (prism6n) Aturan 2 titik 2
Prisma segitiga 15-node (prism15n) Aturan 9 titik 9
Heksahedron 8-node (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
Heksahedron 20-node (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
Segiempat 4-node (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
Segiempat 8-node (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
Segitiga 3-node (tri3n) Aturan 1 titik 1
Segitiga 6-node (tri6n) Aturan 3 titik 3

Untuk elemen heksahedral, segiempat, dan garis, digunakan hasil kali tensor dari aturan Gauss-Legendre pada setiap arah koordinat. Segitiga, tetrahedron, dan prisma segitiga menggunakan aturan khusus yang sesuai dengan geometri tipe simpleks (susunan titik yang mengintegrasikan polinomial secara eksak pada segitiga itu sendiri).

Penerapan pada Integrasi Elemen

Dalam integrasi elemen, koordinat alami \(\boldsymbol{r}\) digunakan sebagai koordinat domain referensi (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), dan pemetaan ke koordinat fisik diberikan oleh interpolasi koordinat node menggunakan fungsi bentuk. Bergantung pada pilihan konfigurasi referensi (Kerangka Analisis Inkremental), formulasi berikut digunakan.

Metode Total Lagrangian (integrasi pada konfigurasi referensi \(\Omega^e_0\)): pemetaan dan Jacobian adalah

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

dan gaya internal elemen serta matriks kekakuan diaproksimasi sebagai

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Semua \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) dievaluasi pada titik integrasi \(\boldsymbol{r}_i\).

Metode Updated Lagrangian (integrasi pada konfigurasi saat ini \(\Omega^e\)): pemetaan dan Jacobian adalah

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

dan

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

digunakan sebagai aproksimasi.

Satu-satunya perbedaan antara kedua formulasi adalah apakah koordinat node yang diberikan ke pemetaan adalah \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) atau \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); titik integrasi, bobot, dan struktur loop titik integrasi sama.

Integrasi Penuh dan Integrasi Tereduksi

Integrasi yang menggunakan cukup banyak titik integrasi untuk mengintegrasikan derajat polinomial integran secara eksak disebut integrasi penuh, sedangkan integrasi yang menggunakan satu tingkat lebih sedikit titik integrasi disebut integrasi tereduksi. Integrasi tereduksi digunakan untuk mengurangi shear locking dan volumetric locking, tetapi memerlukan penanganan mode deformasi palsu seperti mode hourglass. Jumlah titik integrasi untuk setiap jenis elemen dan pilihan antara integrasi penuh serta tereduksi dibahas dalam Skema Penomoran Elemen dan Pustaka Fungsi Bentuk dan bagian-bagian berikutnya, serta dalam Formulasi Elemen Lanjutan.

Topik Terkait