التكامل العددي¶

تأخذ متجهات القوة الداخلية للعنصر \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ومصفوفة صلابة العنصر \(\boldsymbol{K}^e\) المستخرجة في تفريد الشغل الافتراضي للقوة الداخلية والشغل الافتراضي للقوى الخارجية وتجميع المعادلة العامة شكل تكاملات على مجال العنصر \(\Omega^e\) أو \(\Omega^e_0\). ويقيّم FrontISTR هذه التكاملات عدديًا باستخدام تكامل غاوس.

تكامل غاوس وتغيير المتغيرات¶

يقرب تكامل غاوس تكاملًا على المجال المرجعي \(\Xi\) بمجموع خطي لقيم الدالة المتكاملة عند نقاط التكامل \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) والأوزان \(w_i\). ويتطلب تطبيقه على مجال العنصر \(\Omega^e\) تغيير المتغيرات بواسطة التحويل \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\)، بحيث

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

حيث يمثل \(n_q\) عدد نقاط التكامل، ويمثل \(J_{\xi_i}\) محدد يعقوبي التحويل. يُعرَّف المجال المرجعي \(\Xi\) لكل نوع عنصر (لسداسي الوجوه، \([-1,1]^3\)؛ وللمثلثات ورباعيات السطوح والأشكال الإسفينية، الأشكال المرجعية المقابلة)، وتُعطى نقاط التكامل \(\boldsymbol{\xi}_i\) والأوزان \(w_i\) على هيئة جداول عددية. وتُعامل التكاملات السطحية بالشكل نفسه عن طريق تحويل وجه العنصر من مجال مرجعي ثنائي الأبعاد.

فيما يلي أعداد نموذجية لنقاط التكامل التي يستخدمها FrontISTR (للتوافق مع أنواع العناصر، راجع نظام ترقيم العناصر ومكتبة دوال الشكل).

نوع العنصر	قاعدة التكامل	عدد نقاط التكامل
رباعي سطوح ذو 4 عقد (`tet4n`)	قاعدة نقطة واحدة	1
رباعي سطوح ذو 10 عقد (`tet10n`)	قاعدة 4 نقاط	4
منشور ثلاثي ذو 6 عقد (`prism6n`)	قاعدة نقطتين	2
منشور ثلاثي ذو 15 عقد (`prism15n`)	قاعدة 9 نقاط	9
سداسي وجوه ذو 8 عقد (`hex8n`)	Gauss-Legendre ‏2×2×2	8
سداسي وجوه ذو 20 عقد (`hex20n`)	Gauss-Legendre ‏3×3×3	27
رباعي أضلاع ذو 4 عقد (`quad4n`)	Gauss-Legendre ‏2×2	4
رباعي أضلاع ذو 8 عقد (`quad8n`)	Gauss-Legendre ‏3×3	9
مثلث ذو 3 عقد (`tri3n`)	قاعدة نقطة واحدة	1
مثلث ذو 6 عقد (`tri6n`)	قاعدة 3 نقاط	3

بالنسبة إلى العناصر سداسية الوجوه ورباعية الأضلاع والخطية، يُستخدم حاصل الضرب التنسوري لقاعدة Gauss-Legendre في كل اتجاه إحداثي. وتستخدم المثلثات ورباعيات السطوح والمناشير المثلثية قواعد مخصصة ملائمة للأشكال من نوع simplex (ترتيبات نقاط تكامل متعددات الحدود بدقة على المثلث نفسه).

التطبيق على تكامل العنصر¶

في تكامل العنصر، تُستخدم الإحداثيات الطبيعية \(\boldsymbol{r}\) بوصفها إحداثيات المجال المرجعي (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\))، ويُعطى التحويل إلى الإحداثيات الفيزيائية باستيفاء إحداثيات العقد باستخدام دوال الشكل. ووفقًا لاختيار الوضع المرجعي (إطار التحليل التزايدي)، تُستخدم الصيغ التالية.

طريقة لاغرانج الكلية (التكامل على الوضع المرجعي \(\Omega^e_0\)): يكون التحويل واليعقوبي

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

وتُقرب القوة الداخلية للعنصر ومصفوفة الصلابة كما يلي

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

وتُقيَّم جميع \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) عند نقطة التكامل \(\boldsymbol{r}_i\).

طريقة لاغرانج المحدّثة (التكامل على الوضع الحالي \(\Omega^e\)): يكون التحويل واليعقوبي

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

وتُستخدم التقريبات

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

الاختلاف الوحيد بين الصيغتين هو ما إذا كانت إحداثيات العقد الممررة إلى التحويل هي \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) أم \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)؛ أما نقاط التكامل والأوزان وبنية حلقة نقاط التكامل فهي مشتركة.

التكامل الكامل والتكامل المخفّض¶

يُسمى التكامل الذي يستخدم عددًا كافيًا من نقاط التكامل لتكامل درجة كثير الحدود للدالة المتكاملة بدقة التكامل الكامل، بينما يُسمى التكامل الذي يستخدم مستوى أقل من نقاط التكامل التكامل المخفّض. يُستخدم التكامل المخفّض لتخفيف قفل القص والقفل الحجمي، ولكنه يتطلب معالجة أنماط التشوه الزائفة مثل أنماط الساعة الرملية. ويجري تناول عدد نقاط التكامل لكل نوع عنصر والاختيار بين التكامل الكامل والمخفّض في نظام ترقيم العناصر ومكتبة دوال الشكل والأقسام اللاحقة، وفي صيغ العناصر المتقدمة.

موضوعات ذات صلة¶

المشتقات المكانية لدوال الشكل — حساب اليعقوبي
تفريد الشغل الافتراضي للقوة الداخلية — الكميات التي يقيّمها التكامل العددي
صيغ العناصر المتقدمة — استخدام التكامل المخفّض