طرق التحليل الديناميكي

يصف هذا القسم طرق تحليل المسائل الديناميكية باستخدام التكامل الزمني المباشر. وتُعرض أدناه صيغ الطريقتين الضمنية والصريحة.

تفريد معادلة الحركة (الإطار المشترك)

يُستكمل في المرحلة التالية.

الطريقة الضمنية (طريقة Newmark-β)

بالنسبة إلى المسائل الديناميكية، تُطبَّق طريقة التكامل الزمني المباشر لحل معادلة الحركة الموضحة أدناه.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

حيث إن \(M\) هي مصفوفة الكتلة، و\(C\) هي مصفوفة التخميد، و\(Q\) هو متجه القوى الداخلية، و\(F\) هو متجه القوى الخارجية. يُفترض أن تظل مصفوفة الكتلة ثابتة بغض النظر عن التشوه، حتى في التحليل غير الخطي.

تُقرَّب تغيرات الإزاحة والسرعة والتسارع خلال الزيادة الزمنية \(\Delta t\) باستخدام طريقة Newmark-\(\beta\) كما هو موضح في المعادلتين \(\eqref{eq:2.5.2}\) و\(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

حيث إن \(\gamma\) و\(\beta\) هما معاملا طريقة Newmark-\(\beta\).

كما هو معروف، تقابل القيم التالية لـ \(\gamma\) و\(\beta\) طريقة التسارع الخطي وقاعدة شبه المنحرف، على الترتيب.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (طريقة التسارع الخطي)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)، \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (قاعدة شبه المنحرف)

بالتعويض بالمعادلتين \(\eqref{eq:2.5.2}\) و\(\eqref{eq:2.5.3}\) في المعادلة \(\eqref{eq:2.5.1}\)، نحصل على المعادلة التالية.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

وبصفة خاصة، في المسألة الخطية، تكون \(K_L\) مصفوفة الصلابة الخطية و\(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). وبالتعويض بهذه العلاقة في المعادلة أعلاه نحصل على المعادلة التالية.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

عند المواضع التي يُفرض فيها التسارع كشرط حدّي هندسي، تُستخرج الإزاحة من المعادلة \(\eqref{eq:2.5.2}\) كما يلي.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

وبالمثل، عند المواضع التي تُفرض فيها السرعة، تُستخرج الإزاحة من المعادلة \(\eqref{eq:2.5.6}\) كما يلي.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

حيث \(u_{is}(t+\Delta{t})\) هي إزاحة العقدة عند الزمن \(t+\Delta{t}\)، و\(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) هي سرعة العقدة عند الزمن \(t+\Delta{t}\)، و\(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) هو تسارع العقدة عند الزمن \(t+\Delta{t}\)، و\(i\) هو رقم درجة حرية العقدة، و\(s\) هو رقم العقدة. تُعالَج حدود الكتلة والتخميد كما يلي.

معالجة حد الكتلة

من حيث المبدأ، تُعامَل مصفوفة الكتلة بوصفها مصفوفة كتلة مركزة.

معالجة حد التخميد

يُعامَل حد التخميد بوصفه تخميد Rayleigh المعبَّر عنه بالمعادلة \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

حيث إن \(R_m\) و\(R_k\) هما معاملا تخميد Rayleigh.

تُطبَّق قيمتا \(R_m\) و\(R_k\) المحددتان في بطاقة !DYNAMIC بصورة موحدة على النموذج بأكمله. لتعيين قيم مختلفة لـ \(R_m\) و\(R_k\) لكل مادة، حدّد بطاقة !DAMPING داخل كتلة !MATERIAL الخاصة بتلك المادة. بالنسبة إلى العناصر المنتمية إلى مادة حُدد لها !DAMPING، تُحسب مصفوفة تخميد العنصر من \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) باستخدام مصفوفة كتلة العنصر \(M_i\) ومصفوفة الصلابة المماسية \(K_i\)، ثم تُجمَّع في مصفوفة التخميد العامة. هذه الخاصية فعالة للطريقة الضمنية فقط.

الطريقة الصريحة (طريقة الفروق المركزية)

تعتمد الطريقة الصريحة على معادلة الحركة عند الزمن t الموضحة أدناه.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

بالتعبير عن الإزاحات عند الزمنين \(t + \Delta t\) و\(t - \Delta t\) بتوسعات Taylor حول الزمن \(t\) والاحتفاظ بالحدود حتى الرتبة الثانية في \(\Delta t\)، نحصل على المعادلات التالية.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

بأخذ الفرق والمجموع للمعادلتين \(\eqref{eq:2.5.3}\) و\(\eqref{eq:2.5.4}\)، نحصل على المعادلتين التاليتين.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

بالتعويض بالمعادلتين \(\eqref{eq:2.5.12}\) و\(\eqref{eq:2.5.13}\) في المعادلة \(\eqref{eq:2.5.9}\)، نحصل على المعادلة التالية.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

وبصفة خاصة، في المسألة الخطية، يكون \(Q(t) = K_L U(t)\)، وتصبح المعادلة أعلاه كما يلي:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

إذا اعتُبرت مصفوفة الكتلة \(M\) مصفوفة كتلة مركزة، ومصفوفة التخميد مصفوفة تخميد تناسبي \(C = R_m M\)، فإن المعادلة \(\eqref{eq:2.5.15}\) لا تتطلب حل معادلات متزامنة.

لذلك، يمكن الحصول على \(U(t+\Delta t)\) من المعادلة \(\eqref{eq:2.5.15}\) باستخدام المعادلة التالية.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

موضوعات ذات صلة

• أنواع التحليل — نظرة عامة واختيار وظائف التحليل الديناميكي
• المراجع