انتقل إلى المحتوى

تقطيع الشغل الافتراضي الداخلي

تأخذ معادلة الشغل الافتراضي عند الزمن \(t + \Delta t\) المعروضة في إطار التحليل التزايدي شكلين، صياغة Updated Lagrange وصياغة Total Lagrange، تبعًا لاختيار التهيئة المرجعية. في هذا الفصل، يُستخدم تقريب العناصر المحدودة المقدم في دوال الشكل وتقريب العناصر المحدودة والمشتقات المكانية لدوال الشكل لتقطيع الشغل الافتراضي الداخلي مكانيًا في الصياغتين والحصول على متجهي القوة الداخلية للعنصر \(\boldsymbol{q}^e\) (طريقة UL) و\(\boldsymbol{Q}^e\) (طريقة TL).

للعنصر \(e\)، وللعقد المكوِّنة \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)، نرمز إلى الإزاحات بـ\(\boldsymbol{u}^e_\alpha\)، ونرتب متجه إزاحات عقد العنصر على الصورة \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)، ونعرّف الإزاحة الافتراضية \(\delta \boldsymbol{u}^e\) بالترتيب نفسه. وتُستوفى الإزاحة داخل العنصر بدوال الشكل على الصورة \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

الشغل الافتراضي الداخلي في صياغة Updated Lagrange

في صياغة Updated Lagrange تُتخذ التهيئة الحالية \({}^{t}\Omega\) عند الزمن \(t\) تهيئةً مرجعية، ويُكتب الشغل الافتراضي الداخلي باستخدام إجهاد Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) والجزء الخطي من انفعال Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) كما يلي:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

يمكن التعبير عن كل مركبة من \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) كمزيج خطي من مشتقات دالة الشكل بالنسبة إلى إحداثيات التهيئة الحالية \(\boldsymbol{x}\)، أي \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)، ومن الإزاحات العقدية الافتراضية \(\delta u^e_{i\alpha}\). وبترميز Voigt يمكن جمعها على الصورة:

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

تُجمع بهذه الصورة. والكتلة العقدية \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) هي مصفوفة \(6 \times 3\) تُرتب فيها \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) وفق قاعدة Voigt، وتكون \(\boldsymbol{B}_L\) مصفوفة علاقة الانفعال-الإزاحة لصياغة UL. وبالتعويض في الشغل الافتراضي الداخلي وفصل \(\delta \boldsymbol{u}^e\) نحصل على:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

فنحصل على ذلك. وتمثل الكتلة العقدية \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) في \(\boldsymbol{q}^e\) القوة الداخلية للعنصر \(\Omega^e\) المؤثرة في العقدة المكوِّنة \(\alpha\).

الشغل الافتراضي الداخلي في صياغة Total Lagrange

في صياغة Total Lagrange تُتخذ التهيئة المرجعية \(\Omega_0\) تهيئةً مرجعية، ويُكتب الشغل الافتراضي الداخلي باستخدام إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني \(\boldsymbol{S}\) وانفعال Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) كما يلي:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

يمكن فصل \(\delta \boldsymbol{E}\) إلى حد خطي في الإزاحة الافتراضية وحد غير خطي يتضمن حاصل ضرب مع تدرج الإزاحة الحالية \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

يمكن كتابة الحد الخطي باستخدام الكتلة العقدية \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) الناتجة من تطبيق قاعدة الترتيب نفسها المستخدمة في صياغة UL على \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

ويمكن كتابته بهذه الصورة (فبسبب اختلاف التهيئة المرجعية تُستبدل فقط المكونات \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) بـ\(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)، بينما يُستخدم الرمز نفسه كما في صياغة UL). أما الحد غير الخطي فيستخدم الكتلة العقدية \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) المتكونة من ترتيب حواصل ضرب تدرج الإزاحة الحالية \(\partial u_k/\partial X_j\) في \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) وفق قاعدة Voigt:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

وبذلك يكون \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\)، وتكون \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) مصفوفة علاقة الانفعال-الإزاحة لصياغة TL. وبالتعويض في الشغل الافتراضي الداخلي نحصل على:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

فنحصل على ذلك. وتمثل الكتلة العقدية \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) القوة الداخلية للعنصر \(\Omega^e_0\) المؤثرة في العقدة المكوِّنة \(\alpha\).

العلاقة بين UL وTL ومسار الحساب

تتوافق متجهات القوة الداخلية للعنصر في صيغتي Updated Lagrange وTotal Lagrange كما يلي.

البند صياغة Updated Lagrange صياغة Total Lagrange
التهيئة المرجعية التهيئة الحالية \({}^{t}\Omega^e\) التهيئة المرجعية \(\Omega^e_0\)
موتر الإجهاد إجهاد Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) إجهاد PK الثاني \(\boldsymbol{S}\)
تغير الانفعال \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
مصفوفة B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\)، \(\partial u/\partial X\))
القوة الداخلية للعنصر \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

يمكن معالجة الصياغتين بالإجراء نفسه: بناء \(\boldsymbol{B}_L\) من المشتقات المكانية لدوال الشكل؛ وفي صياغة TL بناء \(\boldsymbol{B}_{NL}\) من تدرج الإزاحة الحالية وإضافتها؛ وتحديث الإجهاد (\(\boldsymbol{\sigma}\) أو \(\boldsymbol{S}\)) وفق القانون التكويني؛ ثم إجراء التكامل العددي لـ\(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) أو \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) على مجال العنصر عند نقاط التكامل (التكامل العددي). وباستثناء تبديل التهيئة المرجعية (إحداثيات العقد وبناء مصفوفة \(\boldsymbol{B}\)) واستبدال موتر الإجهاد، تكون المعالجة مشتركة؛ ولذلك ينفذ FrontISTR حساب القوة الداخلية للصياغتين باستخدام روتينات فرعية مشتركة. ويُتناول تجميع متجهي القوة الداخلية للعنصر \(\boldsymbol{q}^e\) و\(\boldsymbol{Q}^e\) في متجه القوة الداخلية الكلي في الشغل الافتراضي للقوى الخارجية وتجميع المعادلات الكلية.

موضوعات ذات صلة