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Discretización del trabajo virtual interno

La ecuación de trabajo virtual en el instante \(t + \Delta t\) presentada en Marco del análisis incremental adopta dos formas, las formulaciones de Lagrange actualizado y Lagrange total, según la elección de la configuración de referencia. En este capítulo se utiliza la aproximación por elementos finitos introducida en Funciones de forma y aproximación por elementos finitos y Derivadas espaciales de las funciones de forma para discretizar espacialmente el trabajo virtual interno de ambas formulaciones y obtener los vectores de fuerzas internas del elemento \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) y \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Para el elemento \(e\), sean los nodos constituyentes \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); sean sus desplazamientos \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), y dispóngase el vector de desplazamientos nodales del elemento como \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). El desplazamiento virtual \(\delta \boldsymbol{u}^e\) se define en el mismo orden. El desplazamiento dentro del elemento se interpola mediante las funciones de forma como \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Trabajo virtual interno en la formulación de Lagrange actualizado

En la formulación de Lagrange actualizado, en el instante \(t\) se utiliza la configuración actual \({}^{t}\Omega\) como configuración de referencia, y el trabajo virtual interno se expresa mediante la tensión de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) y la parte lineal de la deformación de Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) como

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Cada componente de \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) puede expresarse, utilizando las coordenadas de la configuración actual \(\boldsymbol{x}\), como una combinación lineal de las derivadas de las funciones de forma \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) y los desplazamientos virtuales nodales \(\delta u^e_{i\alpha}\). En notación de Voigt, puede agruparse como

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

El bloque nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) se forma disponiendo \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) según la convención de Voigt en una matriz de \(6 \times 3\), y \(\boldsymbol{B}_L\) es la matriz deformación-desplazamiento para la formulación UL. Sustituyendo esta expresión en el trabajo virtual interno y factorizando \(\delta \boldsymbol{u}^e\) se obtiene

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Para \(\boldsymbol{q}^e\), el bloque nodal \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) es la fuerza interna del elemento \(\Omega^e\) que actúa sobre el nodo constituyente \(\alpha\).

Trabajo virtual interno en la formulación de Lagrange total

En la formulación de Lagrange total, la configuración inicial \(\Omega_0\) se utiliza como configuración de referencia, y el trabajo virtual interno se expresa mediante la segunda tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) y la deformación de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) como

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

La variación \(\delta \boldsymbol{E}\) se separa en un término lineal respecto del desplazamiento virtual y un término no lineal que contiene productos con el gradiente de desplazamiento actual \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

El término lineal puede escribirse aplicando la misma regla de disposición que en la formulación UL a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), lo que da el bloque nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Debido a la distinta configuración de referencia, solo cambian las derivadas constituyentes de \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); se utiliza el mismo símbolo que en la formulación UL. El término no lineal utiliza productos del gradiente de desplazamiento actual \(\partial u_k/\partial X_j\) y \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), dispuestos según la convención de Voigt para formar el bloque nodal \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Por tanto, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), y \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) es la matriz deformación-desplazamiento para la formulación TL. Sustituyendo esta expresión en el trabajo virtual interno se obtiene

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

El bloque nodal \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) es la fuerza interna del elemento \(\Omega^e_0\) que actúa sobre el nodo constituyente \(\alpha\).

Correspondencia entre UL/TL y flujo de cálculo

Los vectores de fuerzas internas del elemento en las formulaciones de Lagrange actualizado y Lagrange total se corresponden de la siguiente manera.

Elemento Formulación de Lagrange actualizado Formulación de Lagrange total
Configuración de referencia Configuración actual \({}^{t}\Omega^e\) Configuración inicial \(\Omega^e_0\)
Tensor de tensión Tensión de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Segunda tensión PK \(\boldsymbol{S}\)
Variación de la deformación \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matriz B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Fuerza interna del elemento \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Ambas se procesan mediante el mismo procedimiento: construir \(\boldsymbol{B}_L\) a partir de las derivadas espaciales de las funciones de forma; en la formulación TL, construir y añadir \(\boldsymbol{B}_{NL}\) a partir del gradiente de desplazamiento actual; actualizar la tensión (\(\boldsymbol{\sigma}\) o \(\boldsymbol{S}\)) según la ley constitutiva; e integrar numéricamente \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) o \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) sobre el dominio del elemento en los puntos de integración (Integración numérica). Salvo por el cambio de la configuración de referencia (coordenadas nodales y construcción de la matriz \(\boldsymbol{B}\)) y la sustitución del tensor de tensión, el procesamiento es común, por lo que FrontISTR implementa los cálculos de fuerzas internas de ambas formulaciones mediante subrutinas comunes. El ensamblaje de los vectores de fuerzas internas del elemento \(\boldsymbol{q}^e\) y \(\boldsymbol{Q}^e\) en el vector global de fuerzas internas se trata en Trabajo virtual externo y ensamblaje de las ecuaciones globales.

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