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Tratamiento de las condiciones de contorno geométricas

El método de Newton-Raphson resuelve la ecuación lineal \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) en cada iteración, pero las condiciones de contorno geométricas (restricciones de desplazamiento) todavía no se han incorporado a esta ecuación. En este capítulo se muestra cómo modificar la matriz de rigidez \(\boldsymbol{K}\) y el vector de residuo \(\boldsymbol{R}\) para los grados de libertad a los que se aplican restricciones de desplazamiento \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), de modo que el desplazamiento después de la iteración alcance el valor prescrito. Las restricciones multipunto (MPC) y las restricciones no lineales asociadas al contacto se tratan por separado; consulte Restricciones multipunto y Contacto.

Política de conservación de las restricciones de desplazamiento como variables desconocidas

El desplazamiento de un nodo sometido a una condición de contorno geométrica deja de ser una variable desconocida y queda fijado al valor prescrito \(\bar{u}_i\). Estos grados de libertad podrían tratarse como constantes y eliminarse de la ecuación lineal \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); sin embargo, FrontISTR impone las restricciones modificando \(\boldsymbol{K}\) y \(\boldsymbol{R}\), a la vez que mantiene los grados de libertad restringidos en el vector de corrección \(d\boldsymbol{u}\) del mismo modo que los demás grados de libertad.

Con este enfoque, las dimensiones de la matriz de coeficientes y el orden de los grados de libertad no cambian según existan o no restricciones, por lo que no es necesario eliminar variables y recompactar las filas y columnas liberadas. Como esta recompactación resulta engorrosa en una implementación que almacena la matriz de coeficientes en forma de matriz dispersa, FrontISTR adopta este último enfoque, en el que las restricciones se imponen únicamente actualizando la matriz de coeficientes y el lado derecho.

Valor objetivo de las correcciones de Newton-Raphson

Para un grado de libertad \(i\) con desplazamiento restringido, la corrección \(du_i\) obtenida en la iteración de Newton-Raphson debe tomar el valor

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1.ª iteración}) \\ 0 & (\text{2.ª iteración y posteriores}) \end{cases} \]

Se modifican \(\boldsymbol{K}\) y \(\boldsymbol{R}\) para que la corrección tome este valor. De este modo, el incremento de desplazamiento alcanza el valor prescrito \(\bar{u}_i\) en la primera iteración y, a partir de la segunda, la corrección pasa a ser \(0\), manteniéndose el valor prescrito.

Procedimiento de modificación de la matriz y del vector de residuo

El valor objetivo descrito en la sección anterior se obtiene mediante las dos modificaciones siguientes, manteniendo la forma de la ecuación lineal \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. Diagonalización de la fila \(i\): Sustituya el término diagonal \(K_{ii}\), coeficiente de \(du_i\), por \(1\), sustituya todos los demás coeficientes \(K_{ij}\ (j \not= i)\) por \(0\) y establezca el lado derecho como \(R_i \to d\bar{u}_i\). La ecuación de la fila \(i\) pasa entonces a ser \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Traslado desde las filas \(j(\not= i)\): Para cada fila \(j(\not= i)\), si \(K_{ji} \not= 0\), traslade el término \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) al lado derecho. Es decir, reste \(K_{ji} d\bar{u}_i\) del lado derecho y establezca en \(0\) el coeficiente \(K_{ji}\) de \(du_i\).

En forma de componentes, las ecuaciones antes y después de la modificación se corresponden del modo siguiente.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Denotando respectivamente la matriz de coeficientes y el lado derecho modificados como \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\), la ecuación lineal que finalmente debe resolverse es

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Si existen varios grados de libertad restringidos, las modificaciones 1 y 2 anteriores se aplican sucesivamente a cada grado de libertad restringido \(i\).

Alcance del procesamiento en la implementación con matriz dispersa

En la implementación, la matriz de coeficientes \(\boldsymbol{K}\) se almacena en forma de matriz dispersa. Por ello, el procesamiento de las filas \(j(\not= i)\) del procedimiento 2 de la sección anterior se realiza únicamente para las filas que tienen entradas no nulas en la columna \(i\), es decir, para los grados de libertad de nodos conectados mediante elementos al grado de libertad restringido \(i\). Para los grados de libertad no conectados, \(K_{ji} = 0\), por lo que trasladar el término no modifica el lado derecho. Esta restricción permite completar el procesamiento de las restricciones utilizando solo operaciones locales con respecto al número total de nodos.

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