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Iteración no lineal e integración temporal

FrontISTR hace avanzar la solución combinando iteraciones no lineales e integración temporal en cada subpaso dentro del control de incrementos de cada paso. Esta página describe las estructuras iterativas situadas entre el control exterior de pasos y el solver lineal interior: iteraciones de Newton-Raphson, iteraciones de contacto, integración temporal para el análisis dinámico y el marco de avance temporal e iteración no lineal en la conducción térmica transitoria.

Descripción general

La solución no lineal y la integración temporal dentro de un paso presentan una estructura anidada formada por varios bucles, desde el más externo hacia el más interno. Cada capa desempeña la siguiente función.

Capa Función Página de referencia principal
Bucle de pasos Divide todo el análisis en varios pasos y conmuta las condiciones de contorno, las cargas, el contacto y la activación de elementos. Control de pasos
Bucle de subpasos Divide un paso en incrementos de tiempo y avanza mediante incrementos fijos o incrementos automáticos y cutback. Control de pasos
Avance del estado de integración temporal En análisis dinámico y conducción térmica transitoria, obtiene el estado del tiempo siguiente a partir del estado del paso anterior. Esta página
Bucle de búsqueda del estado de contacto En análisis de contacto, busca cambios en el estado de contacto (contacto/separación) y actualiza la estructura de la matriz de rigidez. Esta página
Iteración exterior de Lagrange aumentado Con contacto ALAGRANGE, mejora progresivamente la precisión de la restricción de contacto. Esta página
Iteración de Newton Resuelve iterativamente las ecuaciones de equilibrio no lineales mediante el método de Newton-Raphson. Esta página
Solución del sistema lineal Resuelve el sistema lineal basado en la matriz de rigidez tangente en cada iteración de Newton. Solver y precondicionamiento

Las capas que aparecen dependen del tipo de análisis.

Tipo de análisis Integración temporal Búsqueda del estado de contacto Iteración exterior Iteración de Newton
Análisis estático lineal — — — —
Análisis estático no lineal (sin contacto) — — — Sí
Análisis estático no lineal (contacto SLAGRANGE) — Sí — Sí
Análisis estático no lineal (contacto ALAGRANGE) — Sí Sí Sí
Análisis dinámico, implícito Newmark-β — — Sí (cuando es no lineal)
Análisis dinámico, explícito Diferencias centrales — — —
Análisis de respuesta en frecuencia Superposición modal — — —
Conducción térmica transitoria Crank-Nicolson / Euler hacia atrás — — Sí (cuando las propiedades del material dependen de la temperatura)
Conducción térmica estacionaria — — — Sí (cuando las propiedades del material dependen de la temperatura)

Para saber cómo seleccionar el tipo y el algoritmo de contacto propiamente dichos, consulte Contacto y embebido. Esta página describe cómo se organiza el algoritmo seleccionado en forma de bucle iterativo.

Elección del esquema de solución

La estructura iterativa se determina automáticamente a partir del tipo de análisis seleccionado (Tipos de análisis), de la presencia o ausencia de no linealidad (no linealidad geométrica, no linealidad del material o contacto) y del algoritmo de contacto (SLAGRANGE o ALAGRANGE). El usuario ajusta directamente los límites superiores del número de iteraciones y los criterios de convergencia.

Al ajustar estos parámetros se aplican las siguientes directrices.

  • Para análisis estándar, el límite superior predeterminado del número de iteraciones suele ser suficiente. Si un problema difícil de hacer converger alcanza el número máximo de iteraciones sin converger, utilice primero cutback (Control de pasos); aumente el límite superior solo si esto no mejora la convergencia.
  • Ajuste los criterios de convergencia para equilibrar la estabilidad del análisis y el tiempo de cálculo. Unos criterios más estrictos mejoran la precisión del equilibrio, pero aumentan el número de iteraciones. En análisis de contacto y análisis que utilizan multiplicadores de Lagrange, combinar criterios de incremento de desplazamiento o de Lagrange con el criterio de residuo puede mejorar la estabilidad.
  • Para los parámetros de integración temporal del análisis dinámico (coeficientes de Newmark-β), comience con una combinación estándar de valores y ajústelos cuando desee modificar las características de amortiguamiento numérico de la respuesta vibratoria.
  • Para el esquema de integración temporal de la conducción térmica transitoria, utilice Crank-Nicolson en problemas con cambios suaves de temperatura y Euler hacia atrás cuando sean más importantes los cambios bruscos o la estabilidad a largo plazo.

Iteración de Newton-Raphson en análisis estático

En el análisis estático no lineal, las ecuaciones de equilibrio que contienen no linealidad geométrica o del material se resuelven iterativamente mediante el método de Newton-Raphson. Cada iteración procede de la siguiente manera.

  1. Evaluar el vector residual \(\boldsymbol{R}\) para la solución actual.
  2. Ensamblar la matriz de rigidez tangente \(\boldsymbol{K}_T\).
  3. Resolver el sistema lineal \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) para obtener la corrección de desplazamiento \(\Delta \boldsymbol{u}\).
  4. Actualizar la solución como \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
  5. Comparar con los criterios de convergencia. Si se alcanza la convergencia, finalizar la iteración; en caso contrario, volver al paso 1.

El solver lineal realiza la solución del sistema lineal (paso 3). Para la selección del solver y del precondicionador, consulte Solver y precondicionamiento.

La iteración se controla mediante los parámetros de control de pasos de !STEP. Los principales valores de control son los siguientes.

Función Parámetro
Límite superior del número de iteraciones. Si se alcanza el límite sin convergencia, el subpaso queda sujeto a cutback. MAXITER
Criterio de convergencia basado en la norma relativa del residuo. CONVERG
Criterio de convergencia basado en la relación de normas de la corrección de desplazamiento. Se utiliza junto con el criterio de residuo para mejorar la estabilidad. CONVERG_DDISP
Criterio de divergencia para la norma del residuo. La iteración termina cuando se supera este valor. MAXRES

El número máximo de iteraciones de Newton al que hacen referencia las decisiones de incremento automático y cutback de Control de pasos significa el número de iteraciones de Newton descrito en esta página. El control de incremento automático aumenta el incremento de tiempo después de un subpaso que ha convergido en pocas iteraciones y lo disminuye después de un subpaso que ha requerido muchas iteraciones.

Iteración de contacto en análisis estático

En el análisis de contacto, el estado de contacto cambia durante la iteración debido al contacto, la separación y el deslizamiento en las superficies de contacto, por lo que la iteración de Newton se combina con actualizaciones del estado de contacto. La estructura depende del algoritmo de solución de contacto.

Ambos algoritmos sitúan un bucle de búsqueda del estado de contacto en el nivel más externo. En cada pasada por este bucle, el estado de contacto (contacto/separación) se vuelve a evaluar después de que haya convergido la iteración de Newton interior. Si el estado ha cambiado, se actualiza la estructura de la matriz de rigidez y se vuelve a ejecutar la iteración interior. El bucle finaliza cuando el estado de contacto no cambia respecto a la pasada anterior y se satisfacen los criterios de convergencia de contacto (criterios de fuerza de contacto y multiplicador de Lagrange). El límite superior del número de pasadas se especifica mediante MAXCONTITER de !STEP.

Con contacto SLAGRANGE, los grados de libertad de contacto se incorporan al sistema lineal mediante el método estándar de multiplicadores de Lagrange, dando una estructura de dos capas en la que la iteración de Newton se sitúa directamente dentro del bucle de búsqueda del estado de contacto. No interviene ninguna iteración de Lagrange aumentado.

Con contacto ALAGRANGE, se añade una iteración de Lagrange aumentado dentro del bucle de búsqueda del estado de contacto y, dentro de esta, se realiza la iteración de Newton, dando una estructura de tres capas. En cada iteración de Lagrange aumentado, la restricción de contacto se vuelve a evaluar mediante una combinación del término de penalización y el multiplicador de Lagrange, mejorando progresivamente la precisión de la restricción. El límite superior del número de iteraciones de Lagrange aumentado se especifica mediante AUGITER de !CONTACT_ALGO.

Los valores de control de la iteración de contacto son los siguientes.

Función Se especifica en
Límite superior del número de iteraciones del bucle de búsqueda del estado de contacto. Se utiliza tanto para SLAGRANGE como para ALAGRANGE. !STEP MAXCONTITER
Límite superior del número de iteraciones de Lagrange aumentado. Se utiliza solo para ALAGRANGE. !CONTACT_ALGO AUGITER
Criterio de convergencia para la corrección del multiplicador de Lagrange. Se utiliza junto con el criterio de residuo en análisis con contacto. !STEP CONVERG_LAG

El número de iteraciones de contacto al que hacen referencia las decisiones de incremento automático de Control de pasos significa el número de iteraciones descrito en esta página, incluidas las actualizaciones del estado de contacto. Los análisis en los que el contacto y la separación se producen con frecuencia tienden a requerir más iteraciones de contacto, lo que también afecta a las decisiones de incremento automático y cutback. Para los tipos de contacto, las definiciones de pares y la propia selección del algoritmo, consulte Contacto y embebido. Para saber cómo resolver el sistema lineal que contiene grados de libertad de contacto, consulte Solver y precondicionamiento.

Integración temporal en análisis dinámico (método implícito)

El método implícito para análisis dinámico utiliza el método de Newmark-β para relacionar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración del tiempo siguiente en cada paso temporal, y combina estas relaciones con la ecuación de movimiento para obtener el estado en el instante \(t + \Delta t\). La restricción de estabilidad sobre el paso de tiempo \(\Delta t\) es poco severa, lo que permite resolver eficientemente respuestas estructurales dominadas por componentes de baja frecuencia.

Se utilizan los dos parámetros de integración temporal siguientes.

Parámetro Función
\(\beta\) Coeficiente relacionado con la interpolación temporal del desplazamiento.
\(\gamma\) Coeficiente relacionado con la interpolación temporal de la velocidad.

La combinación \(\beta = 1/4\) y \(\gamma = 1/2\) se denomina método de aceleración media y es una elección estándar que es incondicionalmente estable y no tiene amortiguamiento numérico. Para introducir amortiguamiento numérico, elija \(\gamma\) mayor que \(1/2\). Para obtener detalles matemáticos sobre combinaciones de parámetros, estabilidad y características del error, consulte el manual de teoría.

Cuando se incluye no linealidad (no linealidad geométrica, no linealidad del material o contacto), la iteración de Newton se realiza dentro de cada paso temporal; el sistema lineal se resuelve dentro de la iteración y se actualiza el estado. Los criterios de convergencia utilizan CONVERG y valores relacionados compartidos con el análisis estático. En el análisis dinámico con contacto, se incorpora en cada paso temporal la misma estructura iterativa que en Iteración de contacto en análisis estático.

El paso de tiempo del análisis dinámico se controla principalmente mediante las condiciones temporales de !STEP. Con incrementos fijos, !STEP especifica DTIME como paso de tiempo y ETIME como duración del paso. Los valores n_step y t_delta de !DYNAMIC se tratan como valores predeterminados cuando se omite !STEP y por compatibilidad con versiones anteriores. En el método implícito no lineal, !STEP con INC_TYPE=AUTO habilita los incrementos automáticos y cutback, aumentando o disminuyendo el paso de tiempo según el estado de las iteraciones de Newton y de contacto. Tanto si se utilizan incrementos fijos como automáticos, establezca el paso de tiempo teniendo en cuenta tanto la convergencia como la precisión requerida.

Integración temporal en análisis dinámico (método explícito)

El método explícito para análisis dinámico utiliza el método de diferencias centrales para calcular directamente el estado del tiempo siguiente únicamente a partir de la información de desplazamiento, velocidad y aceleración del tiempo anterior. Como no se resuelven ecuaciones simultáneas, el coste de cálculo por paso es bajo. Incluso cuando se incluye no linealidad, cada paso temporal es una actualización de una sola etapa sin iteración de Newton.

El paso de tiempo tiene un límite superior impuesto por una condición de estabilidad basada en el período natural mínimo del sistema (condición CFL). Un paso de tiempo que supere este límite hace divergir la solución numérica, por lo que no pueden utilizarse pasos de tiempo grandes como los posibles con el método implícito. El método explícito resulta ventajoso para fenómenos como impactos, propagación de ondas y contacto a alta velocidad, donde de por sí se requieren pasos de tiempo pequeños.

Cuando se incluye contacto, se utiliza el método Forward Increment Lagrange para imponer las restricciones de contacto. Las fuerzas de contacto se evalúan de manera coherente con la actualización de una sola etapa del método explícito.

Método de solución para el análisis de respuesta en frecuencia

El análisis de respuesta en frecuencia obtiene directamente la respuesta estacionaria periódica en el dominio de la frecuencia mediante el método de superposición modal. Evalúa la respuesta variando la frecuencia de excitación y no necesita recorrer un historial temporal mediante iteraciones. No se realizan ni iteraciones no lineales ni integración temporal.

Antes de realizar el análisis de respuesta en frecuencia, debe llevarse a cabo un análisis modal para el mismo sistema y extraerse el número necesario de modos naturales. Solo se admiten modelos lineales; el análisis no puede realizarse cuando está habilitada la no linealidad geométrica o del material. Para la ubicación de este tipo de análisis, consulte Tipos de análisis.

Avance temporal e iteración no lineal en conducción térmica transitoria

La conducción térmica transitoria tiene su propio bucle temporal, que se completa dentro de !HEAT. El paso de tiempo se controla por una vía distinta de !STEP y !AUTOINC_PARAM del análisis estructural y, cuando las propiedades del material dependen de la temperatura, se realiza una iteración no lineal dentro de cada paso temporal.

El esquema de integración temporal se selecciona mediante el parámetro \(\beta\) de !HEAT.

\(\beta\) Esquema Características
0.5 Método de Crank-Nicolson Precisión de segundo orden. Adecuado para problemas con cambios suaves de temperatura.
1.0 Método de Euler hacia atrás Precisión de primer orden. Incondicionalmente estable y proporciona estabilidad para análisis de larga duración y cambios bruscos de temperatura.

El paso de tiempo se controla de forma adaptativa combinando el paso de tiempo inicial, el paso de tiempo mínimo y el cambio máximo de temperatura por paso. Si el cambio de temperatura supera DELTMX después del cálculo de un paso temporal, se reduce el paso de tiempo y se recalcula el paso. El análisis se aborta si el paso de tiempo cae por debajo del paso de tiempo mínimo DTMIN.

Cuando las propiedades del material dependen de la temperatura, se realiza una iteración no lineal dentro de cada paso temporal. La iteración se controla de la siguiente manera.

Función Parámetro
Límite superior de iteraciones no lineales. !HEAT ITMAX
Criterio de convergencia. !HEAT EPS

La conducción térmica estacionaria no utiliza avance temporal; solo se realiza iteración no lineal cuando las propiedades del material dependen de la temperatura. Como el control temporal del análisis de conducción térmica es independiente de !STEP del análisis estructural, revise la configuración de !HEAT al ajustar el paso de tiempo.

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