비선형 반복·시간 적분¶

FrontISTR의 해석은 스텝별 증분 제어 안에서 각 서브스텝마다 비선형 반복과 시간 적분을 조합하여 해를 진행한다. 이 페이지에서는 바깥쪽 스텝 제어와 안쪽 선형 솔버 사이에 위치하는 반복 구조, 즉 Newton-Raphson 반복, 접촉 반복, 동적 해석의 시간 적분, 비정상 열전도의 시간 진행과 비선형 반복 체계를 다룬다.

기능 개요¶

스텝 안에서 수행되는 비선형 해법과 시간 적분은 바깥쪽에서 안쪽으로 여러 루프가 중첩되는 구조를 갖는다. 각 계층의 역할은 다음과 같다.

계층	역할	주요 참조 페이지
스텝 루프	해석 전체를 여러 스텝으로 나누고 경계조건·하중·접촉·요소 활성화를 전환한다.	스텝 제어
서브스텝 루프	1스텝을 시간 증분으로 나누고 고정 증분 또는 자동 증분·cutback으로 진행한다.	스텝 제어
시간 적분의 상태 전진	동적 해석·비정상 열전도에서 이전 스텝의 상태로부터 다음 시각의 상태를 구한다.	이 페이지
접촉 상태 탐색 루프	접촉 해석에서 접촉 상태(접촉·분리)의 변화를 탐색하고 강성 행렬의 구조를 갱신한다.	이 페이지
확장 Lagrange 외부 반복	`ALAGRANGE` 접촉에서 접촉 구속 정확도를 단계적으로 개선한다.	이 페이지
Newton 반복	비선형 평형방정식을 Newton-Raphson 법으로 반복적으로 푼다.	이 페이지
선형 연립방정식 풀이	각 Newton 반복에서 접선 강성 행렬에 기반한 선형계를 푼다.	솔버·전처리

해석 종류에 따라 이 계층들 중 어느 것까지 사용되는지가 달라진다.

해석 종류	시간 적분	접촉 상태 탐색	외부 반복	Newton 반복
선형 정적 해석	—	—	—	—
비선형 정적 해석(접촉 없음)	—	—	—	있음
비선형 정적 해석(`SLAGRANGE` 접촉)	—	있음	—	있음
비선형 정적 해석(`ALAGRANGE` 접촉)	—	있음	있음	있음
동적 해석 암시적 방법	Newmark-β	—	—	있음(비선형 시)
동적 해석 명시적 방법	중앙 차분	—	—	—
주파수 응답 해석	모드 중첩	—	—	—
비정상 열전도	Crank-Nicolson / Backward Euler	—	—	있음(재료 온도 의존 시)
정상 열전도	—	—	—	있음(재료 온도 의존 시)

접촉 유형과 알고리즘 자체의 선택 방법은 접촉·임베딩을 참조한다. 이 페이지에서는 선택한 알고리즘이 반복 루프로 어떻게 구성되는지를 다룬다.

해법 선택¶

반복 구조는 해석 종류의 선택(해석 유형), 비선형성의 유무(기하 비선형·재료 비선형·접촉), 접촉 알고리즘(SLAGRANGE 또는 ALAGRANGE)에 따라 자동으로 결정된다. 사용자가 직접 조정하는 것은 반복 횟수의 상한과 수렴 판정값이다.

조정 지침은 다음과 같다.

반복 횟수의 상한은 표준적인 해석이라면 기본값으로 충분히 동작한다. 수렴하기 어려운 문제에서 "최대 반복에 도달했으나 비수렴"이 되는 경우 먼저 cutback(스텝 제어)을 병용하고, 그래도 개선되지 않을 때 상한을 늘린다.
수렴 판정값은 해석의 안정성과 계산 시간의 균형을 고려하여 조정한다. 엄격하게 할수록 평형 정확도는 높아지지만 반복 횟수가 증가한다. 접촉 해석이나 Lagrange 승수를 포함하는 해석에서는 잔차 판정뿐 아니라 변위 증분 판정이나 Lagrange 판정을 함께 사용하면 안정성이 개선된다.
동적 해석의 시간 적분 매개변수(Newmark-β 계수)는 표준적인 값의 조합으로 시작하고 진동 응답의 수치 감쇠 특성을 변경하려는 경우 조정한다.
비정상 열전도의 시간 적분 스킴은 온도 변화가 완만한 문제에서는 Crank-Nicolson, 급격한 변화나 장시간 안정성을 중시하는 경우에는 Backward Euler를 선택한다.

정적 해석의 Newton-Raphson 반복¶

비선형 정적 해석에서는 기하 비선형 또는 재료 비선형을 포함하는 평형방정식을 Newton-Raphson 법으로 반복적으로 푼다. 각 반복은 다음 절차로 진행된다.

현재 해에서 잔차 벡터 \(\boldsymbol{R}\)를 평가한다.
접선 강성 행렬 \(\boldsymbol{K}_T\)를 조립한다.
선형계 \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\)를 풀어 변위 수정량 \(\Delta \boldsymbol{u}\)를 구한다.
해를 \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\)로 갱신한다.
수렴 판정값과 비교하여 수렴했으면 반복을 종료한다. 수렴하지 않았으면 절차 1로 돌아간다.

선형계의 풀이(절차 3)는 선형 솔버가 담당한다. 솔버·전처리의 선택은 솔버·전처리를 참조한다.

반복 제어는 !STEP의 스텝 제어 매개변수로 수행한다. 주요 제어값은 다음과 같다.

역할	매개변수
반복 횟수의 상한. 상한에 도달해도 수렴하지 않으면 cutback 대상이 된다.	`MAXITER`
잔차 노름의 상대값에 의한 수렴 판정값.	`CONVERG`
변위 수정량의 노름비에 의한 수렴 판정값. 잔차 판정과 병용하여 안정성을 개선한다.	`CONVERG_DDISP`
잔차 노름의 발산 판정값. 이 값을 초과한 시점에서 반복을 중단한다.	`MAXRES`

스텝 제어에서 자동 증분·cutback 판정에 사용되는 Newton 반복 횟수의 최대값은 이 페이지에서 설명한 Newton 반복 횟수를 뜻한다. 자동 증분은 반복 횟수가 적게 든 서브스텝 뒤에는 시간 증분을 늘리고, 반복이 많이 든 서브스텝 뒤에는 시간 증분을 줄인다.

정적 해석의 접촉 반복¶

접촉 해석에서는 접촉면의 접촉·분리·미끄럼에 따라 반복 중 접촉 상태가 변하므로 Newton 반복은 접촉 상태 갱신과 조합되어 구성된다. 구성은 접촉 해법 알고리즘에 따라 달라진다.

두 알고리즘 모두 가장 바깥쪽에 접촉 상태 탐색 루프가 놓인다. 이 루프의 각 회에서는 안쪽 Newton 반복을 수렴시킨 뒤 접촉 상태(접촉·분리)를 다시 평가하고, 상태가 변하면 강성 행렬 구조를 갱신한 뒤 안쪽 반복을 다시 수행한다. 접촉 상태가 이전과 같고 접촉 수렴 판정(접촉력·Lagrange 승수 판정)을 만족하는 시점에서 루프를 종료한다. 상한 횟수는 !STEP의 MAXCONTITER로 지정한다.

SLAGRANGE 접촉에서는 표준 Lagrange 승수법으로 접촉 자유도를 선형계에 포함하고, 접촉 상태 탐색 루프 안쪽에 Newton 반복을 직접 두는 2계층 구조가 된다. 확장 Lagrange 반복은 개입하지 않는다.

ALAGRANGE 접촉에서는 접촉 상태 탐색 루프 안쪽에 확장 Lagrange 반복을 추가하고, 그 안쪽에서 Newton 반복을 수행하는 3계층 구조를 취한다. 확장 Lagrange 반복의 각 회에서 접촉 구속을 페널티 항과 Lagrange 승수의 조합으로 다시 평가하여 구속 정확도를 단계적으로 개선한다. 확장 Lagrange 반복 횟수의 상한은 !CONTACT_ALGO의 AUGITER로 지정한다.

접촉 반복의 제어값은 다음과 같다.

역할	지정 위치
접촉 상태 탐색 루프 횟수의 상한. `SLAGRANGE` / `ALAGRANGE` 모두에서 사용한다.	`!STEP`의 `MAXCONTITER`
확장 Lagrange 반복 횟수의 상한. `ALAGRANGE`에서만 사용한다.	`!CONTACT_ALGO`의 `AUGITER`
Lagrange 승수 수정량에 대한 수렴 판정값. 접촉이 있는 해석에서 잔차 판정과 병용한다.	`!STEP`의 `CONVERG_LAG`

스텝 제어의 자동 증분 판정에서 참조하는 접촉 반복 횟수는 이 페이지에서 설명하는 접촉 상태 갱신을 포함한 반복 횟수를 뜻한다. 접촉과 분리가 자주 발생하는 해석에서는 접촉 반복 횟수가 증가하는 경향이 있으며 자동 증분·cutback 판정에도 영향을 준다. 접촉 유형·페어 정의·알고리즘 선택 자체는 접촉·임베딩을 참조한다. 접촉 자유도를 포함한 선형계의 풀이 방법은 솔버·전처리를 참조한다.

동적 해석의 시간 적분(암시적 방법)¶

동적 해석의 암시적 방법은 Newmark-β 법을 사용하여 각 시간 스텝에서 다음 시각의 변위·속도·가속도를 관계시키고 운동방정식과 결합하여 시각 \(t + \Delta t\)의 상태를 구하는 방식이다. 시간 간격 \(\Delta t\)에 대한 안정성 제약이 완만하여 저주파 성분이 지배적인 구조 응답을 효율적으로 풀 수 있다.

시간 적분 매개변수는 다음 두 가지이다.

매개변수	역할
\(\beta\)	변위의 시간 보간에 관련된 계수.
\(\gamma\)	속도의 시간 보간에 관련된 계수.

\(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\)의 조합은 평균 가속도법이라고 하며 무조건 안정하고 수치 감쇠가 없는 표준적인 선택이다. 수치 감쇠를 도입하려면 \(\gamma\)를 \(1/2\)보다 크게 한다. 매개변수 값의 조합과 안정성·오차 특성의 수학적 세부 사항은 이론 매뉴얼을 참조한다.

비선형성(기하 비선형·재료 비선형·접촉)을 포함하는 경우 각 시간 스텝 안에서 Newton 반복을 수행하고, 반복 안에서 선형계를 풀어 상태를 갱신한다. 수렴 판정값은 정적 해석과 공통인 CONVERG 등을 사용한다. 접촉을 수반하는 동적 해석에서는 정적 해석의 접촉 반복과 같은 반복 구조가 시간 스텝 안에 포함된다.

동적 해석의 시간 간격은 !STEP의 시간 조건을 기본으로 제어한다. 고정 증분에서는 !STEP의 DTIME을 시간 간격, ETIME을 스텝 시간 폭으로 지정한다. !DYNAMIC의 n_step과 t_delta는 !STEP을 생략한 경우나 하위 호환을 위한 기본값으로 취급한다. 비선형 암시적 방법에서는 !STEP의 INC_TYPE=AUTO로 자동 증분·cutback을 활성화하여 Newton 반복이나 접촉 반복 상태에 따라 시간 간격을 증감한다. 고정 증분과 자동 증분 어느 경우에도 시간 간격은 수렴성과 요구 정확도 양쪽을 고려하여 설정한다.

동적 해석의 시간 적분(명시적 방법)¶

동적 해석의 명시적 방법은 중앙 차분법을 사용하여 이전 시각의 변위·속도·가속도 정보만으로 다음 시각의 상태를 직접 계산하는 방식이다. 연립방정식을 풀지 않으므로 1스텝당 계산 비용이 작다. 비선형성을 포함하는 경우에도 각 시간 스텝에서 Newton 반복을 수행하지 않는 단일 단계 갱신이 된다.

시간 간격에는 계의 최소 고유주기에 기반한 안정성 조건(CFL 조건)의 상한이 있다. 이 상한을 넘는 시간 간격에서는 수치해가 발산하므로 암시적 방법처럼 큰 시간 간격을 사용할 수 없다. 충격·파동 전파·고속 접촉처럼 원래 작은 시간 간격이 필요한 현상에서는 명시적 방법이 유리하다.

접촉을 수반하는 경우 Forward Increment Lagrange 법으로 접촉 구속을 다룬다. 명시적 방법의 단일 단계 갱신과 정합되는 형태로 접촉력을 평가한다.

주파수 응답 해석의 해법¶

주파수 응답 해석은 모드 중첩법으로 주기 정상 응답을 주파수 영역에서 직접 구한다. 가진 주파수를 바꾸면서 응답을 평가하는 해법이며 시간 이력을 반복으로 추적할 필요가 없다. 비선형 반복과 시간 적분은 모두 수행하지 않는다.

주파수 응답 해석을 실행하려면 사전에 동일한 계에서 모드 해석을 수행하여 필요한 수의 고유모드를 추출해 두어야 한다. 선형 모델만 지원하며 기하 비선형·재료 비선형을 활성화한 경우에는 실행할 수 없다. 해석 종류의 위치는 해석 유형을 참조한다.

비정상 열전도의 시간 진행과 비선형 반복¶

비정상 열전도는 !HEAT 안에서 완결되는 독자적인 시간 루프를 갖는다. 구조 해석의 !STEP 및 !AUTOINC_PARAM과는 별도의 경로로 시간 간격을 제어하고, 재료 물성이 온도 의존인 경우 각 시간 간격 내부에서 비선형 반복을 수행한다.

시간 적분 스킴은 !HEAT의 \(\beta\) 매개변수로 선택한다.

\(\beta\)	스킴	특성
0.5	Crank-Nicolson 법	2차 정확도. 온도 변화가 완만한 문제에 적합하다.
1.0	Backward Euler 법	1차 정확도. 무조건 안정하며 장시간 해석이나 급격한 온도 변화에서 안정성을 확보하기 쉽다.

시간 간격은 초기 시간 간격, 최소 시간 간격, 1스텝에서의 최대 온도 변화를 조합하여 적응적으로 제어된다. 각 시간 간격 계산 후 온도 변화가 DELTMX를 초과하면 시간 간격을 줄여 다시 계산한다. 시간 간격이 최소 시간 간격 DTMIN보다 작아지면 해석을 중단한다.

재료 물성이 온도 의존인 경우 각 시간 간격 내부에서 비선형 반복을 수행한다. 반복 제어는 다음과 같다.

역할	매개변수
비선형 반복의 상한.	`!HEAT`의 `ITMAX`
수렴 판정값.	`!HEAT`의 `EPS`

정상 열전도에서는 시간 간격을 사용하지 않고 재료가 온도 의존인 경우에만 비선형 반복을 수행한다. 열전도 해석의 시간 제어는 구조 해석의 !STEP과 독립되어 있으므로 시간 간격을 조정할 때는 !HEAT의 지정을 확인한다.