응력과 보존 법칙¶
이 장에서는 응력 텐서의 정의와 상호 관계, 그리고 질량·운동량·각운동량의 각 보존 법칙에서 유도되는 평형 방정식과 응력의 대칭성을 정리한다. 세 종류의 응력 텐서(Cauchy 응력 \(\boldsymbol{\sigma}\), 제1 Piola-Kirchhoff 응력 \(\boldsymbol{P}\), 제2 Piola-Kirchhoff 응력 \(\boldsymbol{S}\))는 기준면과 힘 벡터에 어느 배치를 사용하는지의 차이에 따라 도입된다. 배치·운동·변형 구배의 정의는 운동·변형·변형률을, 기호 목록은 물리량 기호 목록을 참조한다.
Cauchy 응력 텐서¶
현재 배치의 점 \(\boldsymbol{x}\)에서 미소면(면적 \(d\Gamma\), 외향 단위 법선 \(\boldsymbol{n}\))에 작용하는 힘을 \(d\boldsymbol{f}\)라 하고, 응력 벡터 \(\boldsymbol{t}\)를 단위 면적당 힘 \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\)로 정의한다. \(\boldsymbol{t}\)는 위치 \(\boldsymbol{x}\)와 법선 \(\boldsymbol{n}\) 모두에 의존한다. 미소 사면체에 운동량 보존 법칙을 적용하면 \(\boldsymbol{t}\)는 \(\boldsymbol{n}\)에 대해 선형이 되며, 2계 텐서 \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\)가 존재하여
가 임의의 \(\boldsymbol{n}\)에 대해 성립한다(Cauchy 응력 정리). 이 텐서 \(\boldsymbol{\sigma}\)를 Cauchy 응력 텐서라고 하며, 현재 배치의 기하 형상을 기준으로 한 단위 면적당 힘이라는 의미에서 진응력이라고도 한다. 성분 \(\sigma_{ij}\)는 현재 배치에서 좌표축 \(x_j\)에 직교하는 미소면의 단위 면적에 작용하는 힘의 \(x_i\) 성분을 나타낸다.
뒤에서 설명하는 각운동량 보존 법칙에 따라 Cauchy 응력은 대칭 텐서
이며, 3차원에서는 독립적인 6개 성분(\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\))을 갖는다. Voigt 표기에 의한 응력 벡터화는 이 대칭성을 전제로 한다(텐서 표기와 수학적 기초 참조). Cauchy 응력은 FrontISTR의 Updated Lagrange 법에 의한 기하학적 비선형 해석 및 미소 변형 해석의 응력 출력에 사용된다.
제1·제2 Piola-Kirchhoff 응력¶
유한 변형에서는 기준 배치를 기준면·기준 벡터로 하여 응력을 표현하는 편이 편리한 경우가 많으므로, 두 종류의 Piola-Kirchhoff 응력 텐서를 도입한다. 기준 배치의 미소면 면적을 \(d\Gamma_0\), 외향 단위 법선을 \(\boldsymbol{N}\)이라 한다.
제1 Piola-Kirchhoff 응력(제1 PK 응력, 공칭 응력) \(\boldsymbol{P}\)는 현재 배치의 힘 \(d\boldsymbol{f}\)를 기준 배치의 미소면에 작용시켰을 때의 응력 텐서로서
로 정의된다. Nanson 공식 \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\)와 Cauchy 응력 정리로부터 Cauchy 응력과의 관계
를 얻는다. 제1 PK 응력은 일반적으로 비대칭 텐서이다.
제2 Piola-Kirchhoff 응력(제2 PK 응력) \(\boldsymbol{S}\)는 현재 배치의 힘 \(d\boldsymbol{f}\)를 \(\boldsymbol{F}^{-1}\)로 기준 배치에 끌어온 뒤 기준 배치의 미소면에 작용시켰을 때의 응력 텐서로서
로 정의된다. 힘 벡터와 작용면 모두 기준 배치의 양으로 표현되며, 강체 회전에 대해 불변이고 대칭 텐서이다. 제1 PK 응력과의 관계 및 Cauchy 응력과의 변환식은
이다. 제2 PK 응력은 초탄성 변형률 에너지 함수 \(W(\boldsymbol{C})\)로부터 \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\)로 유도되며, Total Lagrange 법에서는 Green-Lagrange 변형률 \(\boldsymbol{E}\)와 짝을 이루는 응력 공액쌍 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\)으로 사용된다.
기준 배치와 대칭성은 다음 표와 같다. 미소 변형의 극한(\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\))에서는 세 종류의 응력이 일치한다.
| 응력 텐서 | 기준면 | 힘 벡터 | 대칭성 | 용도 |
|---|---|---|---|---|
| Cauchy 응력 \(\boldsymbol{\sigma}\) | 현재 배치 \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | 현재 배치 \(d\boldsymbol{f}\) | 대칭 | Updated Lagrange 법·미소 변형 해석 |
| 제1 PK 응력 \(\boldsymbol{P}\) | 기준 배치 \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | 현재 배치 \(d\boldsymbol{f}\) | 일반적으로 비대칭 | 기준 배치의 평형 방정식 |
| 제2 PK 응력 \(\boldsymbol{S}\) | 기준 배치 \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | 기준 배치 \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | 대칭 | Total Lagrange 법·초탄성 |
질량·운동량 보존 법칙과 평형 방정식¶
현재 배치의 질량 밀도를 \(\rho\), 기준 배치의 질량 밀도를 \(\rho_0\)라 하면, 질량 보존 법칙 \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\)는 체적 요소의 변환 \(dv = J\, dV\)에 의해 국소형
으로 귀착된다.
물체력(단위 질량당)을 \(\boldsymbol{g}\), 가속도를 \(\boldsymbol{a}\)라 하고, 운동량 보존 법칙(Euler의 제1 운동 법칙)에 Cauchy 응력 정리와 Gauss 발산 정리를 적용하면 현재 배치에서의 국소형 평형 방정식(운동 방정식)
을 얻는다. Nanson 공식과 \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\)에 의해 기준 배치의 적분으로 다시 쓰면 기준 배치에서의 국소형
을 얻는다. 두 형식은 응력 변환 법칙과 \(\rho_0 = J\rho\)에 의해 동등하다. 관성항을 무시한
은 정적 평형 방정식이며 FrontISTR 정적 해석(선형·비선형)의 출발식이 된다.
각운동량 보존 법칙과 응력 대칭성¶
각운동량 보존 법칙(Euler의 제2 운동 법칙)에 운동량 보존 법칙에서 얻은 평형 방정식을 결합하면 Cauchy 응력 텐서의 대칭성
이 유도되며, 3차원에서는 독립적인 6개 성분으로 이루어진다. 변환식 \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\)의 양변을 전치하고 \(\boldsymbol{F}\)의 정칙성을 이용하면 제2 PK 응력도 대칭
이며 독립적인 6개 성분으로 이루어진다. 한편 제1 PK 응력 \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\)는 일반적으로 대칭이 아니며, 관계식 \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\)(즉 \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\)가 대칭)만 성립하고 독립 성분 수는 9개이다.
이러한 대칭성은 Voigt 표기에 의한 응력의 6성분 벡터화의 전제가 된다. Voigt 표기의 규약과 재료 행렬의 구성은 텐서 표기와 수학적 기초 및 선형 탄성을 참조한다.