재료 데이터¶

FrontISTR에서 "재료"란 요소에 부여하는 물성 데이터를 이름을 붙여 일괄 관리하는 단위이다. 구체적으로는 탄성계수, 밀도, 열전도율 등의 물성값과 탄소성, 점탄성, 크리프 등의 구성 법칙 파라미터를 하나의 이름 아래에 묶은 것을 의미한다. 요소 그룹에 대한 할당은 !SECTION으로 수행하며, 요소 종류(솔리드, 셸, 인터페이스 등)와 재료명을 대응시킨다. 재료 자체의 내용은 메시 데이터 측의 !MATERIAL 또는 해석 제어 데이터 측의 !MATERIAL 블록에서 정의한다.

재료 데이터에 대한 제약은 해석 유형, 요소 유형, 입력 파일에서의 지정 방법이라는 세 가지 요소로 결정된다. 이하에서는 먼저 사용 가능한 재료 모델과 요소·해석 유형의 대응을 정리하고(기능 개요), 이어서 재료 모델 선택 방법(재료 모델 선택), 개별 모델의 사양(선형 탄성 이후)의 순서로 설명한다. 각 키워드의 형식과 기본값은 키워드 레퍼런스를 참조한다.

기능 개요¶

재료 데이터는 구조 해석에 사용하는 기계적 재료 모델과 열전도 해석·열응력 해석에 사용하는 열물성으로 크게 나눌 수 있다. 구조 해석에서는 용도에 따라 선형 탄성, 초탄성, 탄소성, 점탄성, 크리프 또는 사용자 정의 재료를 선택한다. 각각은 독립된 구성 법칙이며, 탄소성·점탄성·크리프에서는 탄성 부분으로 선형 탄성을 같은 재료 내에 함께 정의한다(초탄성은 자체 변형률 에너지 함수를 사용하므로 선형 탄성 강성을 참조하지 않는다). 열전도 해석에서는 밀도, 비열, 열전도율을 요소에 할당한다.

분류	주요 용도	입력의 주요 키워드	주요 참조처
선형 탄성	미소 변형 선형 해석, 모드 해석, 선형 동적 해석, 비선형 재료의 탄성 부분	`!ELASTIC`, `!MATERIAL ITEM=1`	!ELASTIC, !MATERIAL(메시 데이터)
초탄성	고무상 재료 등의 대변형 탄성 응답	`!HYPERELASTIC`	!HYPERELASTIC
탄소성	항복 후의 영구 변형률, 금속 소성, 지반 재료	`!PLASTIC`	!PLASTIC
점탄성	완화·지연을 수반하는 시간 의존 응답	`!VISCOELASTIC`, `!TRS`	!VISCOELASTIC, !TRS
크리프	응력 하에서 시간과 함께 진행되는 변형	`!CREEP`	!CREEP
열물성	열전도 해석, 열응력 해석	`!MATERIAL ITEM=1`〜`3`, `!EXPANSION_COEFF`	!EXPANSION_COEFF
사용자 정의 재료	사용자가 구현한 구성 법칙	`!USER_MATERIAL`, `!ELASTIC TYPE=USER`, `!HYPERELASTIC TYPE=USER`, `!PLASTIC YIELD=USER`	!USER_MATERIAL

구조 해석에서는 같은 이름의 재료가 메시 데이터와 해석 제어 데이터 양쪽에 정의되어 있는 경우 해석 제어 데이터 측이 우선된다. 다만 메시 데이터 측의 재료 정의 자체는 필수이며, 해석 제어 데이터 측에 같은 이름의 재료가 정의되어 있을 때는 메시 데이터 측 값이 참조되지 않으므로 더미 값이어도 된다. 반면 열전도 해석에서는 해석 제어 데이터에서의 재료 지정이 지원되지 않으며 메시 데이터에 지정한 값이 그대로 사용된다.

해석 유형별 대응은 다음과 같이 정리할 수 있다. 선형 정적 해석, 모드 해석, 선형 동적 해석에서는 선형 탄성을 사용한다. 3차원 연속체 솔리드 요소를 사용하는 비선형 정적 해석 및 비선형 동적 해석에서는 선형 탄성을 기초로 초탄성, 탄소성, 점탄성, 크리프, 사용자 정의 재료를 사용할 수 있다. 열전도 해석에서는 구조 재료 모델이 아니라 밀도, 비열, 열전도율을 사용한다. 해석 유형의 전체 개요는 해석 유형을 참조한다.

요소 유형별 대응에도 제약이 있다. 3차원 연속체 솔리드 요소에서는 구조 해석용 비선형 재료 모델을 사용할 수 있다. 평면응력 요소, 평면변형률 요소, 축대칭 요소에서는 선형 탄성을 기본으로 사용한다. 이러한 2차원 계열 요소에서는 탄소성, 초탄성, 점탄성, 크리프를 지원하지 않는다. 셸 요소는 선형 탄성을 지원하며 단층·적층, 등방성·이방성을 지정할 수 있다. 셸 요소는 탄소성, 초탄성, 점탄성, 크리프를 지원하지 않는다. 인터페이스 요소는 열전도 해석에서 갭 열전달·복사를 다루기 위한 요소이며, 재료 데이터가 아니라 !SECTION의 데이터 행에 갭 파라미터를 지정한다. 요소 그룹과의 대응 및 적층 입력 예는 요소 라이브러리도 참조한다.

다음 표에 요소 유형별 재료 모델의 사용 가능 여부를 정리한다.

요소 유형	선형 탄성(등방성)	선형 탄성(직교이방성·적층)	초탄성	탄소성	점탄성	크리프	열물성
3차원 솔리드	○	○	○	○	○	○	○
평면응력·평면변형률·축대칭	○	—	—	—	—	—	○
셸(단층·적층)	○	○	—	—	—	—	—
빔·트러스	○	—	—	—	—	—	—
인터페이스	—	—	—	—	—	—	○

(기호: ○ 사용 가능 / — 미지원). 인터페이스 요소의 열물성은 갭 열전달·복사를 !SECTION에서 지정한다.

재료 정의에는 두 가지 경로가 있다. 메시 데이터에서는 !SECTION으로 요소 그룹과 재료명을 대응시키고 !MATERIAL과 !ITEM으로 물성을 정의한다. 해석 제어 데이터에서는 !MATERIAL 블록 안에 !ELASTIC, !HYPERELASTIC, !PLASTIC 등을 두어 재료 모델을 정의한다. 해석 제어 데이터 측에 !MATERIAL을 정의한 경우 메시 데이터 내의 같은 이름 재료 정의보다 해석 제어 데이터 측 정의가 사용된다. 메시 데이터 측 !SECTION과 !MATERIAL의 자세한 내용은 !SECTION(메시 데이터)과 !MATERIAL(메시 데이터)을 참조한다. 해석 제어 데이터 측의 재료 블록은 !MATERIAL(해석 제어 데이터)을 참조한다.

재료 모델 선택¶

재료 모델을 선택할 때는 먼저 선형 탄성으로 충분한지 판단한다. 변형이 작고 응력이 항복점을 넘지 않으며 시간 의존 완화나 크리프를 고려하지 않는 경우에는 선형 탄성을 사용한다. 대변형 탄성 응답을 다루는 경우에는 초탄성, 항복 후의 소성 변형률을 다루는 경우에는 탄소성, 완화 시간을 가진 재료를 다루는 경우에는 점탄성, 장시간 하중 유지로 진행되는 변형을 다루는 경우에는 크리프를 선택한다.

문제의 특징	후보 재료 모델	판단 기준
미소 변형에서 응력과 변형률이 선형 관계	선형 탄성	Young률과 Poisson비로 표현할 수 있는 경우
대변형에서도 제하 후 원래 상태로 돌아감	초탄성	고무상 재료, 비선형 탄성 포텐셜이 필요한 경우
항복점을 넘어 영구 변형률이 남음	탄소성	항복 함수와 경화 법칙을 선택해야 하는 경우
하중 유지 중 응력 완화 또는 지연이 발생	점탄성	완화 계수와 완화 시간으로 표현할 수 있는 경우
장시간 하중으로 변형률이 누적	크리프	Norton 법칙으로 근사할 수 있는 경우
기존 모델로 표현할 수 없음	사용자 정의 재료	외부 서브루틴에서 구성 법칙을 구현하는 경우

온도 의존성을 다루는 경우 재료 모델별 지원 여부를 확인한다. 선형 탄성, 크리프, 열팽창계수는 온도 의존 테이블을 지원한다. 점탄성에서는 Prony 계수 자체의 온도 보간이 아니라 !TRS에 의한 온도 시프트를 사용한다. 탄소성에서는 Mises 항복의 다선형 경화를 사용하는 경우 온도 의존 테이블을 사용할 수 있다. Mohr-Coulomb 및 Drucker-Prager는 온도 의존성을 지원하지 않는다.

이방성이나 적층을 다루는 경우에는 요소 유형에도 주의한다. 솔리드 요소는 직교이방성 선형 탄성을 지원한다. 셸 요소는 선형 탄성 범위에서 등방성 단층, 이방성 단층, 등방성 적층, 이방성 적층을 지원한다. 셸 요소에서 비선형 재료 모델은 사용할 수 없다.

거의 비압축성인 재료에서는 Poisson비를 0.5로 설정하지 않는다. FrontISTR는 완전 비압축 재료의 지정을 지원하지 않는다. 비압축성의 영향이 큰 대변형 문제에서는 요소 정식화 선택도 중요하므로 요소 라이브러리의 정식화 옵션도 함께 확인한다.

선형 탄성¶

선형 탄성은 FrontISTR 구조 해석에서 가장 기본적인 재료 모델이다. 선형 정적 해석, 모드 해석, 선형 동적 해석에서는 선형 탄성을 사용한다. 탄소성, 점탄성, 크리프를 사용하는 경우에도 탄성 부분으로 같은 재료 내에 선형 탄성을 정의한다. → 자세한 내용은 !ELASTIC을 참조한다.

등방성 선형 탄성에서는 Young률과 Poisson비를 지정한다. 온도 의존성을 부여하는 경우 Young률과 Poisson비를 온도의 함수로 테이블화할 수 있다. 직교이방성을 사용하는 경우에는 3방향의 Young률, 3개의 Poisson비, 3개의 전단계수 등 총 9개의 독립 상수를 지정한다. 직교이방성에서는 재료 좌표계가 필요하므로 대응하는 !SECTION에서 국소 좌표계를 지정한다.

메시 데이터 측에서 선형 탄성을 지정하는 경우 !SECTION과 !MATERIAL을 조합한다. 다음 예에서는 솔리드 요소 그룹 ALL에 재료 M1을 할당하고, ITEM=1에서 Young률과 Poisson비, ITEM=2에서 질량 밀도, ITEM=3에서 선팽창계수를 정의한다.

!SECTION, TYPE=SOLID, EGRP=ALL, MATERIAL=M1

!MATERIAL, NAME=M1, ITEM=3
!ITEM=1, SUBITEM=2
  4000., 0.3
!ITEM=2
  8.0102E-10
!ITEM=3
  1.0E-5

셸 요소에서는 선형 탄성 범위에서 단층과 적층을 지정할 수 있다. 단층 등방성 재료에는 SUBITEM=4, 단층 이방성 재료에는 SUBITEM=9를 사용한다. 적층에서는 층 수만큼 재료 상수와 층 가중치를 같은 !ITEM 안에 나열한다. 층 가중치는 합계값으로 정규화되어 두께 방향 적분의 가중치로 사용된다. 셸 전체의 물리적 두께는 !SECTION, TYPE=SHELL의 두께로 지정한다.

등방성 재료 단층 셸의 예를 나타낸다.

!MATERIAL, NAME=M1, ITEM=1
!ITEM=1, SUBITEM=4
0, 200000, 0.3, 2.0

등방성 재료 2층 적층 셸의 예를 나타낸다.

!MATERIAL, NAME=M1, ITEM=1
!ITEM=1, SUBITEM=7
0, 200000, 0.3, 2.0, 200000, 0.3, 2.0

이방성 재료 단층 셸의 예를 나타낸다. 이방성 각도는 도 단위로 지정한다.

!MATERIAL, NAME=M1, ITEM=1
!ITEM=1, SUBITEM=9
1, 28600., 0.15, 32.3, 28600., 12434., 12434., 12434., 0.0

이방성 재료 2층 적층 셸의 예를 나타낸다.

!MATERIAL, NAME=M1, ITEM=1
!ITEM=1, SUBITEM=17
1, 28600., 0.15, 32.3, 28600., 12434., 12434., 12434., 0.0,
   28600., 0.15, 32.3, 28600., 12434., 12434., 12434., 0.0

초탄성¶

초탄성은 변형률 에너지 함수로부터 응력을 정의하는 비선형 탄성 재료이다. 큰 변형 후에도 제하하면 원래 상태로 돌아가는 고무상 재료 등을 다룰 때 사용한다. 입력에서는 !MATERIAL 블록 안에서 !HYPERELASTIC을 지정한다. → 자세한 내용은 !HYPERELASTIC을 참조한다.

FrontISTR는 다음 초탄성 모델을 지원한다. OGDEN 모델은 지원하지 않는다.

모델	입력 유형	주요 계수	특징
Neo-Hookean	`NEOHOOKE`	\(C_{10}\), \(D\)	Mooney-Rivlin의 \(C_{01}=0\)에 해당하는 단순 등방성 초탄성 모델
Mooney-Rivlin	`MOONEY-RIVLIN`	\(C_{10}\), \(C_{01}\), \(D\)	두 개의 감소 불변량을 사용하는 등방성 초탄성 모델
Arruda-Boyce	`ARRUDA-BOYCE`	\(\mu\), \(\lambda_m\), \(D\)	분자 사슬 네트워크에 기반한 고무상 재료 모델
이방성 Mooney-Rivlin	`MOONEY-RIVLIN-ANISO`	입력에서는 10개의 계수를 읽지만 현재 구성 법칙에서는 앞의 5개를 사용	섬유 방향 등의 이방성을 갖는 초탄성 응답을 나타내는 모델
사용자 정의 초탄성	`USER`	사용자 상수	외부 서브루틴에서 초탄성 구성 법칙을 구현하는 모델

초탄성에서는 체적 변화에 관련된 계수 \(D\)를 사용하여 압축성을 나타낸다. 완전 비압축 재료는 지원하지 않으므로 Poisson비 \(\nu=0.5\)에 해당하는 지정은 사용하지 않는다. 비압축성에 가까운 재료를 다루는 경우에는 초탄성 모델의 계수뿐 아니라 사용할 요소 정식화도 함께 선택해야 한다.

초탄성은 기본적으로 Total Lagrange 법의 프레임워크에서 다뤄진다. 변형률 에너지 함수, 응력, 접선 강성의 정의는 초탄성(이론)을 참조한다.

탄소성¶

탄소성은 탄성 영역과 소성 영역을 항복 함수로 나누고, 항복 후의 응답을 경화 법칙으로 나타내는 재료 모델이다. 입력에서는 같은 !MATERIAL 블록 안에서 !ELASTIC과 !PLASTIC을 조합한다. → 자세한 내용은 !PLASTIC을 참조한다.

FrontISTR에서는 항복 함수와 경화 법칙을 조합하여 탄소성 모델을 지정한다. 지원 범위는 다음과 같다.

항복 함수	입력 유형	지원 경화 법칙	주요 용도
Mises	`MISES`	`BILINEAR`, `MULTILINEAR`, `SWIFT`, `RAMBERG-OSGOOD`, `KINEMATIC`, `COMBINED`	금속 재료 등의 등방성 항복
Mohr-Coulomb	`MOHR-COULOMB`	`BILINEAR`, `MULTILINEAR`	마찰각과 점착력으로 나타내는 지반·암반 재료
Drucker-Prager	`DRUCKER-PRAGER`	`BILINEAR`, `MULTILINEAR`	Mohr-Coulomb을 매끄럽게 근사하는 압력 의존 항복
사용자 정의 항복	`USER`	사용자 정의	외부 서브루틴에서 접선 강성과 리턴 매핑을 구현하는 경우

Mises 항복의 다선형 경화는 온도 의존 테이블을 지원한다. Mises 항복의 이선형 경화, Swift 경화, Ramberg-Osgood 경화, 이동 경화, 복합 경화는 상수식으로 평가된다. Mohr-Coulomb과 Drucker-Prager는 온도 의존성을 지원하지 않는다. 다선형 경화를 사용하는 경우 소성 변형률이 음수가 되지 않고 첫 소성 변형률이 0이 되도록 입력해야 한다.

셸 요소, 평면응력 요소, 평면변형률 요소, 축대칭 요소는 탄소성을 지원하지 않는다. 탄소성 재료를 사용하는 경우 3차원 연속체 솔리드 요소를 사용한다.

탄소성은 기본적으로 Updated Lagrange 법의 프레임워크에서 다뤄진다. !PLASTIC에 INFINITESIMAL을 지정한 경우에는 미소 변형 구성 법칙으로 다뤄진다. 응력 갱신에서는 리턴 매핑에 기반한 적분을 수행하며, 알고리즘의 자세한 내용은 탄소성(이론)을 참조한다.

점탄성¶

점탄성은 탄성 응답에 시간 의존 완화를 더한 재료 모델이다. FrontISTR에서는 일반화 Maxwell 모델을 Prony 급수로 입력한다. 같은 !MATERIAL 블록 안에 !ELASTIC과 !VISCOELASTIC을 정의한다. → 자세한 내용은 !VISCOELASTIC을 참조한다.

Prony 급수에서는 완화 계수와 완화 시간의 쌍을 여러 행에 지정한다. 완화 시간에 0을 지정할 수 없다. 온도 의존성을 고려하는 경우에는 !TRS를 !VISCOELASTIC 뒤에 두고 온도 시프트 팩터를 지정한다. → 자세한 내용은 !TRS을 참조한다.

온도 시프트에는 WLF형과 Arrhenius형이 있으며, 모두 시프트 팩터 \(A\)를 해석 온도 \(\theta\)와 참조 온도 \(\theta_0\)의 함수로 부여한다. 입력에서는 두 경우 모두 2개의 재료 상수(C1, C2)와 참조 온도를 지정하지만, 그 의미는 선택한 시프트 모델에 따라 다르다(WLF형에서는 Williams-Landel-Ferry 식의 두 계수, Arrhenius형에서는 활성화 에너지 관련 두 계수). 구체적인 함수 형태와 시프트 팩터의 유도는 이론 매뉴얼 점탄성을 참조한다.

크리프¶

크리프는 일정 하중 또는 일정 응력 하에서 시간에 따라 변형률이 진행되는 현상을 다루는 재료 모델이다. FrontISTR의 !CREEP은 Norton 법칙을 지원한다. 같은 !MATERIAL 블록 안에 !ELASTIC과 !CREEP을 정의한다. → 자세한 내용은 !CREEP을 참조한다.

Norton 법칙에서는 크리프 변형률 속도를 등가 응력, 시간, 재료 상수 \(A\), \(n\), \(m\)의 거듭제곱 형태로 나타낸다(구체적인 함수 형태는 이론 매뉴얼 크리프을 참조). 재료 상수는 온도 의존 테이블을 지원하므로 온도별로 값을 지정할 수 있다.

!CREEP의 TYPE=USER는 지원하지 않는다. 크리프를 포함한 독자적인 구성 법칙을 구현하는 경우 사용자 정의 재료를 사용한다.

열전도 해석의 재료 물성¶

열전도 해석에서는 구조 해석용 탄성·소성 재료가 아니라 밀도, 비열, 열전도율을 정의한다. 링크 요소, 평면 요소, 솔리드 요소, 셸 요소에서는 메시 데이터 측의 !MATERIAL에서 ITEM=1〜3을 사용한다. 열물성은 온도 의존 테이블로 지정할 수 있다.

다음 예에서는 재료 M1에 밀도, 비열, 열전도율을 온도 의존 데이터로 정의한다. SECTION에서 솔리드 요소 그룹 ALL에 재료 M1을 할당한 뒤, !MATERIAL의 ITEM=1에 밀도, ITEM=2에 비열, ITEM=3에 열전도율을 각각 온도와의 쌍으로 지정한다.

!SECTION, TYPE=SOLID, EGRP=ALL, MATERIAL=M1

!MATERIAL, NAME=M1, ITEM=3
!ITEM=1, SUBITEM=1
7850., 300.
7790., 500.
7700., 800.
!ITEM=2
0.465, 300.
0.528, 500.
0.622, 800.
!ITEM=3
43., 300.
38.6, 500.
27.7, 800.

인터페이스 요소에서는 재료 데이터를 사용하지 않고 !SECTION, TYPE=INTERFACE의 데이터 행에 갭 폭, 갭 열전달계수, 복사계수를 지정한다.

!SECTION, TYPE=INTERFACE, EGRP=GAP
1.0, 20.15, 8.99835E-9, 8.99835E-9

셸 요소의 열전도 해석에서는 솔리드 요소와 마찬가지로 재료 !MATERIAL에서 열물성을 지정한다. 셸 두께와 두께 방향 적분점 수는 !SECTION 측에서 지정한다.

열응력 해석에서는 온도장으로부터 열변형률을 계산하기 위해 선팽창계수를 정의한다. 등방성 및 직교이방성 열팽창계수를 지원하며 온도 의존성도 지정할 수 있다. → 자세한 내용은 !EXPANSION_COEFF을 참조한다. 구조 해석·동적 해석에 사용하는 질량 밀도를 해석 제어 데이터 측에서 지정하는 경우에는 !DENSITY을 참조한다. 열전도 해석의 밀도는 여기에서 설명한 메시 데이터 측의 !MATERIAL ITEM=1로 지정한다.

사용자 정의 재료¶

사용자 정의 재료는 FrontISTR에 내장된 재료 모델로 표현할 수 없는 구성 법칙을 외부 서브루틴에서 구현하기 위한 진입점이다. 입력에서는 !USER_MATERIAL로 상태 변수 개수와 사용자 상수를 지정한다. → 자세한 내용은 !USER_MATERIAL을 참조한다.

!USER_MATERIAL은 기본적으로 Updated Lagrange형 구성 법칙으로 다뤄지며, KIRCHHOFF 지정 시 Total Lagrange형으로 다뤄진다. 상태 변수 개수는 NSTATUS로 지정한다. 데이터 행에서는 최대 100개의 사용자 상수를 전달할 수 있다. 이 상수들과 상태 변수는 사용자 서브루틴 측에서 구성 법칙의 내부 변수로 사용한다.

!USER_MATERIAL에서는 구성 법칙 본체를 uMatlMatrix와 uUpdate로 구현한다. uMatlMatrix는 재료 접선 강성을 반환하고 uUpdate는 응력과 상태 변수를 갱신한다. 미소 변형의 사용자 탄성을 사용하는 경우에는 !ELASTIC, TYPE=USER, 사용자 초탄성 모델을 사용하는 경우에는 !HYPERELASTIC, TYPE=USER를 사용하며 탄성 응답은 uElasticMatrix와 uElasticUpdate로 구현한다. 사용자 정의 항복 함수를 사용하는 경우에는 !PLASTIC, YIELD=USER를 사용하고 탄소성 접선 강성과 리턴 매핑을 구현한다.