텐서 표기법과 수학적 기초¶

이 장에서는 FrontISTR 이론 매뉴얼의 이후 장에서 사용하는 텐서 표기법·지표 표기법·Voigt 표기법의 규약을 정리한다. 여기서는 물리량의 정의에 의존하지 않는 순수한 표기 규칙만 설명한다. 연속체 운동에 수반되는 배치(기준 배치/현재 배치)에 의존하는 기호 규약(대문자·소문자의 구분, 물질 미분과 공간 미분의 구분)은 배치 개념을 도입하는 운동·변형·변형률에 둔다.

텐서 표기법¶

굵은 글꼴에 의한 벡터·텐서 표기¶

서체에 관한 원칙으로 스칼라량 및 벡터·텐서의 성분은 보통 글꼴(\(\rho\), \(x_i\) 등)로 표기하고, 벡터·텐서 양 자체는 굵은 글꼴(\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) 등)로 표기한다.

Einstein 합산 규약¶

특별한 언급이 없는 한 동일한 지표가 같은 항에 두 번 나타나는 경우 그 지표에 대해 합을 취하는 Einstein 합산 규약을 적용한다. 예를 들어

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

이고, 텐서 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\)의 곱 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\)의 \(i,j\) 성분은

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

가 된다. 지표 규약으로서 특별한 언급 없이 \(i, j, k, l, \ldots\)가 지표에 사용된 경우 자유도에 관한 지표(3차원이라면 \(1, 2, 3\))를 의미하며, 그리스 소문자 \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\)가 지표에 사용된 경우 요소를 구성하는 절점에 관한 지표를 의미한다.

내적·전치·텐서곱¶

텐서 \(\boldsymbol{A}\)의 전치를 \(\boldsymbol{A}^T\)로 나타낸다. 2계 텐서 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\)의 내적(이중 축약)을

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

로 표기한다. 벡터 \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\)의 내적은 \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), 텐서곱은 \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)이다.

Voigt 표기¶

응력과 변형률은 자유도에 관한 2계 대칭 텐서이며, 그 사이의 선형 관계를 나타내는 계수는 4계 텐서가 된다. 이를 그대로 프로그램에서 다루는 것은 계산량과 코딩(다차원 배열·깊은 다중 루프) 측면에서 불리하므로, 일반적인 유한요소법 프로그램에서는 대칭성을 고려하여 응력·변형률은 열벡터로, 4계 탄성 텐서는 2차원 행렬로 압축하여 다룬다. 이를 Voigt 표기라고 한다.

이후 텐서량 \(\boldsymbol{A}\)의 행렬·벡터 표기를 \(\hat{A}\)로 나타내어 원래 텐서와 구별한다.

응력·변형률의 벡터 표기¶

대칭 응력 텐서 \(\boldsymbol{\sigma}\) 및 변형률 텐서 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)에 대해 2차원인 경우

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

3차원인 경우

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

와 같이 열벡터로 다룬다. 변분이나 미분 등의 파생량에도 같은 규칙을 적용한다. 변형률 쪽의 전단 성분에는 계수 2가 붙는다는 점에 주의한다(응력 쪽에는 붙지 않는다). 이 비대칭성에 의해 텐서 내적은 벡터 내적으로

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

의 형태로 간결하게 쓸 수 있다. 구현에서는 전단 변형률 성분의 2배 계수를 잘못 처리하기 쉬우므로 항상 "응력에는 없음/변형률에는 있음" 규약을 의식해야 한다. 기준 배치의 양(제2 Piola-Kirchhoff 응력 \(\boldsymbol{S}\)와 Green-Lagrange 변형률 \(\boldsymbol{E}\))에도 완전히 동일한 Voigt 규약을 적용한다.

4계 텐서의 행렬 표기¶

응력과 변형률의 선형 관계 \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\)(성분 표기로 \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\))에 대해 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)의 대칭성을 이용하면

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

로 다시 쓸 수 있다. 3차원인 경우 \(\tilde{C}\)를 6×6 재료 행렬 \(\hat{\tilde{C}}\)로 배열하면 원래 텐서 관계는

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

로 나타낼 수 있다. 이후 이 매뉴얼에서는 특별한 언급이 없는 한 재료 행렬을 \(D\)(또는 \(\hat{C}\))로 표기한다. 구체적인 등방 선형 탄성의 성분은 선형 탄성을 참조한다.

미분 연산자 규약¶

대칭 기울기 연산자¶

벡터장 \(\boldsymbol{u}\)에 대한 대칭 기울기 연산자 \(\nabla_S\)를

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

로 정의한다. 성분 표기로는 \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)이다. 미소변형의 변형률 \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\)는 이 연산자로 간결하게 나타낼 수 있다. 유한변형에서 기울기를 취하는 배치(기준/현재)의 구분은 운동·변형·변형률에서 다룬다.

물질 시간 미분¶

어떤 양 \(A\)의 물질 시간 미분(동일한 물질점을 따라간 시간 미분)을 위첨자 점으로 \(\dot{A}\)라 나타낸다:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

속도와 가속도는 이 규약을 따른다.

텐서 표기법과 수학적 기초¶