Tensornotation und mathematische Grundlagen¶

Dieses Kapitel fasst die Konventionen für Tensor-, Index- und Voigt-Notation zusammen, die in den folgenden Kapiteln des FrontISTR-Theoriehandbuchs verwendet werden. Hier werden ausschließlich reine Notationsregeln beschrieben, die nicht von der Definition konkreter physikalischer Größen abhängen. Notationskonventionen, die von der bei Kontinuumsbewegungen verwendeten Konfiguration (Referenz-/aktuelle Konfiguration) abhängen, etwa die Unterscheidung zwischen Groß- und Kleinbuchstaben sowie zwischen materiellen und räumlichen Ableitungen, werden in Bewegung, Verformung und Dehnung erläutert, wo das Konzept der Konfiguration eingeführt wird.

Tensornotation¶

Fettschrift für Vektoren und Tensoren¶

Als typografische Konvention werden skalare Größen und Komponenten von Vektoren und Tensoren in Normalschrift (z. B. \(\rho\), \(x_i\)) dargestellt, während Vektor- und Tensorgrößen selbst in Fettschrift (z. B. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) und \(\boldsymbol{\sigma}\)) geschrieben werden.

Einsteinsche Summenkonvention¶

Sofern nicht anders angegeben, wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet: Erscheint derselbe Index innerhalb desselben Terms zweimal, wird über diesen Index summiert. Zum Beispiel gilt

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

und die \(i,j\)-Komponente des Produkts \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) der Tensoren \(\boldsymbol{A}\) und \(\boldsymbol{B}\) lautet

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Als Indexkonvention gilt: Werden \(i, j, k, l, \ldots\) ohne weitere Erläuterung als Indizes verwendet, bezeichnen sie Indizes der Freiheitsgrade (in drei Dimensionen \(1, 2, 3\)). Werden dagegen griechische Kleinbuchstaben \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) als Indizes verwendet, bezeichnen sie die Knoten, aus denen ein Element besteht.

Inneres Produkt, Transposition und Tensorprodukt¶

Die Transponierte des Tensors \(\boldsymbol{A}\) wird mit \(\boldsymbol{A}^T\) bezeichnet. Das innere Produkt (Doppelkontraktion) zweier Tensoren zweiter Ordnung \(\boldsymbol{A}\) und \(\boldsymbol{B}\) wird geschrieben als

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Das innere Produkt der Vektoren \(\boldsymbol{a}\) und \(\boldsymbol{b}\) ist \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\); ihr Tensorprodukt ist \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-Notation¶

Spannung und Dehnung sind bezüglich der Freiheitsgrade symmetrische Tensoren zweiter Ordnung, und die Koeffizienten, welche die lineare Beziehung zwischen ihnen beschreiben, bilden einen Tensor vierter Ordnung. Eine direkte Behandlung dieser Größen im Programm ist hinsichtlich Rechenaufwand und Programmierung (mehrdimensionale Arrays und tief verschachtelte Schleifen) nachteilig. Daher wird in üblichen Finite-Elemente-Programmen die Symmetrie genutzt, um Spannung und Dehnung als Spaltenvektoren und den Elastizitätstensor vierter Ordnung als zweidimensionale Matrix komprimiert darzustellen. Dies wird als Voigt-Notation bezeichnet.

Im Folgenden wird die Matrix- bzw. Vektordarstellung einer Tensorgröße \(\boldsymbol{A}\) mit \(\hat{A}\) bezeichnet, um sie vom ursprünglichen Tensor zu unterscheiden.

Vektordarstellung von Spannung und Dehnung¶

Für den symmetrischen Spannungstensor \(\boldsymbol{\sigma}\) und den Dehnungstensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\) gilt in zwei Dimensionen

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

und in drei Dimensionen

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

und sie werden damit wie dargestellt als Spaltenvektoren behandelt. Dieselbe Regel gilt für abgeleitete Größen wie Variationen und Differentiale. Zu beachten ist, dass die Scherkomponenten auf der Dehnungsseite den Faktor 2 enthalten (auf der Spannungsseite nicht). Aufgrund dieser Asymmetrie kann das innere Tensorprodukt kompakt als Vektorprodukt geschrieben werden:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Bei der Implementierung wird der Faktor 2 der Scherdehnungskomponenten leicht verwechselt; daher ist stets die Konvention „bei der Spannung nicht vorhanden / bei der Dehnung vorhanden“ zu beachten. Genau dieselbe Voigt-Konvention wird auch auf Größen in der Referenzkonfiguration angewendet (zweite Piola-Kirchhoff-Spannung \(\boldsymbol{S}\) und Green-Lagrange-Dehnung \(\boldsymbol{E}\)).

Matrixdarstellung eines Tensors vierter Ordnung¶

Für die lineare Beziehung zwischen Spannung und Dehnung \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (in Komponentendarstellung \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) ergibt sich unter Verwendung der Symmetrie von \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

In drei Dimensionen kann durch Anordnung von \(\tilde{C}\) als 6×6-Materialmatrix \(\hat{\tilde{C}}\) die ursprüngliche Tensorbeziehung geschrieben werden als

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Im Folgenden wird in diesem Handbuch, sofern nicht anders angegeben, die Materialmatrix mit \(D\) (oder \(\hat{C}\)) bezeichnet. Die konkreten Komponenten für isotrope lineare Elastizität finden Sie unter Lineare Elastizität.

Konventionen für Differentialoperatoren¶

Symmetrischer Gradientenoperator¶

Der symmetrische Gradientenoperator \(\nabla_S\) für ein Vektorfeld \(\boldsymbol{u}\) ist definiert als

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

In Komponentendarstellung gilt \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Die Dehnung bei kleinen Verformungen \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) lässt sich mit diesem Operator kompakt ausdrücken. Die Unterscheidung der Konfigurationen (Referenz/aktuell), bezüglich derer bei endlichen Verformungen Gradienten gebildet werden, wird in Bewegung, Verformung und Dehnung behandelt.

Materielle Zeitableitung¶

Die materielle Zeitableitung einer Größe \(A\) (Zeitableitung entlang desselben Materialpunkts) wird durch einen hochgestellten Punkt \(\dot{A}\) bezeichnet:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Geschwindigkeit und Beschleunigung folgen dieser Konvention.