Mehrpunktzwangsbedingungen¶

Die Mehrpunktzwangsbedingungsfunktion von FrontISTR ist ein Mittel, mit dem durch das Auferlegen einer linearen Beziehung \(\sum_i a_i u_i = c\) zwischen mehreren nodalen Freiheitsgraden eine starre Kopplung, periodische Randbedingungen und eine beliebige Kopplung von Freiheitsgraden realisiert werden. Dieses Kapitel fasst zusammen, was mit Mehrpunktzwangsbedingungen möglich ist, und ordnet die Gesichtspunkte für die Wahl zwischen ihnen und anderen Funktionen zur Kopplung von Freiheitsgraden (wie z. B. der Tied-Zwangsbedingung des Kontakts) ein.

Gesamtüberblick der Funktion¶

Mehrpunktzwangsbedingungen sind eine Funktion, die für mehrere nodale Freiheitsgrade die folgende lineare Beziehung auferlegt.

\[ \sum_{i=1}^{N} a_i\, u_i = c \]

Eine einzelne Zwangsbedingungsgleichung wird als Kombination aus der „Anzahl der Terme \(N\)“, der „Konstante der rechten Seite \(c\)“ und, für jeden Term, dem Tripel „Knoten, Freiheitsgrad, Koeffizient“ \((\text{Knoten}_i, \text{Freiheitsgrad}_i, a_i)\) angegeben. Für die Anzahl der Terme wird ein Wert von 2 oder mehr angegeben.

Typische Anwendungen sind die folgenden.

Starre Kopplung: Legt für denselben Freiheitsgrad mehrerer Knoten dieselbe Verschiebung fest (Beispiel: Verbindung der \(x\)-Verschiebungen zweier Knoten durch \(u_x^{(A)} - u_x^{(B)} = 0\)).
Periodische Randbedingung: Legt die Differenz zwischen gegenüberliegenden Knoten auf 0 oder eine Konstante fest (Beispiel: \(u^{(A)} - u^{(B)} = c\)).
Slave-Master-Kopplung: Drückt einen Slave-Freiheitsgrad als Linearkombination von Freiheitsgraden auf der Master-Seite aus.

Auf der Eingabeseite wird jede Zwangsbedingungsgleichung mit !EQUATION definiert. Mit !EQUATION definierte Mehrpunktzwangsbedingungen sind bei Strukturanalysen (statische Analyse, dynamische Analyse, Modalanalyse, Frequenzganganalyse) sowie bei Wärmeleitungsanalysen (stationär, instationär) wirksam. Bei der Strukturanalyse werden translatorische und rotatorische Freiheitsgrade (Freiheitsgradnummern 1–6) angegeben, bei der Wärmeleitungsanalyse der Temperaturfreiheitsgrad (Freiheitsgradnummer 1).

Auswahl der Mehrpunktzwangsbedingung¶

Die Methode zur Eingabe einer Mehrpunktzwangsbedingung wird danach gewählt, ob das Zwangsbedingungsobjekt als „einzelne Knoten und Freiheitsgrade“, „Fläche zu Fläche“ oder „Knoten zu Element“ angegeben wird.

Funktion	Art der Angabe des Zwangsbedingungsobjekts	Hauptanwendung
`!EQUATION`	Einzelne Knoten, Freiheitsgrade und Koeffizienten werden direkt als Gleichung angegeben	Starre Kopplung, periodische Randbedingung, Slave-Master-Kopplung
`!CONTACT` `INTERACTION=TIED` (Tied-Zwangsbedingung)	Verbindet die im Kontaktpaar angegebenen Flächen miteinander	Dauerhafte Verbindung von Bauteilen mit unterschiedlicher Netzdichte
`!EMBED`	Verbindet eine Gruppe einzubettender Knoten mit einer Gruppe von Trägerelementen	Einbetten eines Verstärkungsmaterials in ein Trägermaterial

Wenn sich die Zwangsbedingungsbeziehung direkt als Knoten, Freiheitsgrad und Koeffizient schreiben lässt, wird !EQUATION verwendet. Dies ist unmittelbar möglich, wenn wie bei symmetrischen Randbedingungen oder periodischen Randbedingungen die geometrische Beziehung zwischen gegenüberliegenden Knoten bekannt ist und sich als lineare Beziehung schreiben lässt. Soll eine Verbindung von Flächen bei nicht übereinstimmenden Netzen vorgenommen werden, wird die Tied-Zwangsbedingung (INTERACTION=TIED) verwendet; soll eine Gruppe von Knoten im Inneren der umgebenden Elemente fixiert werden, wird die Einbettung verwendet. Die Tied-Zwangsbedingung und die Einbettung werden intern zu Mehrpunktzwangsbedingungen expandiert und anschließend über denselben Pfad wie !EQUATION verarbeitet.

Der Gleitkontakt (INTERACTION=SSLID, FSLID) ist eine nichtlineare Zwangsbedingung, deren Zwangsbedingungsbeziehung sich je nach Kontaktzustand ändert, und ist nicht in den in diesem Kapitel behandelten Mehrpunktzwangsbedingungen enthalten. Für Kontakt, der Gleiten und Ablösen zulässt, siehe Kontakt und Einbettung.

Angabe der Zwangsbedingungsgleichung¶

Eine Zwangsbedingungsgleichung wird eingegeben, indem in !EQUATION die „Anzahl der Terme \(N\)“ und die „Konstante der rechten Seite \(c\)“ sowie für jeden Term das Tripel „Knoten \(\mathrm{node}_i\)“, „Freiheitsgradnummer \(d_i\)“ und „Koeffizient \(a_i\)“ angegeben werden. Für den Knoten eines Terms wird eine Knotennummer oder ein Knotengruppenname angegeben. Für die Freiheitsgradnummer eines Terms werden bei der Strukturanalyse die translatorischen Werte 1–3 und die rotatorischen Werte 4–6 verwendet, bei der Wärmeleitungsanalyse der Temperaturwert 1. Ein Term, der einen im Modell bedeutungslosen Freiheitsgrad angibt (z. B. 4–6 bei einem Solid-Element mit ausschließlich translatorischen Freiheitsgraden), wird ignoriert, und es wird eine Warnung ausgegeben.

Wenn in den Termen derselbe Knoten und derselbe Freiheitsgrad mehrfach angegeben werden, entartet die Zwangsbedingungsgleichung. Der zweite und jeder weitere doppelte Term wird ignoriert, und es wird eine Warnung ausgegeben. Innerhalb einer einzelnen Zwangsbedingungsgleichung werden unterschiedliche Kombinationen aus Knoten und Freiheitsgrad angegeben.

Werden mehrere Knoten gleichzeitig über eine Knotengruppe angegeben, muss die Anzahl der Knoten in der Gruppe mit den Gruppen der anderen Terme übereinstimmen. Stimmen sie nicht überein, tritt ein Eingabefehler auf.

Der im ersten Term einer Zwangsbedingungsgleichung angegebene Freiheitsgrad wird bei der Verarbeitung als Slave-Freiheitsgrad behandelt. Er darf sich nicht mit dem ersten Term einer anderen Zwangsbedingungsgleichung, mit einer Einpunktzwangsbedingung nach !BOUNDARY oder mit einem von einer Tied-Zwangsbedingung betroffenen Freiheitsgrad überschneiden. Wird derselbe Freiheitsgrad doppelt eingeschränkt, wird die Zwangsbedingungsbeziehung redundant, und das lineare System wird schlecht konditioniert.

Für das Format, die Parameter und die Reihenfolge der Datenzeilen einer Zwangsbedingungsgleichung siehe !EQUATION.

Behandlungsmethode für Zwangsbedingungen (numerische Lösungsseite)¶

Die Methode, mit der Mehrpunktzwangsbedingungen in das lineare System eingebracht werden, beeinflusst die Eigenschaften der Koeffizientenmatrix und das Konvergenzverhalten, selbst wenn die Zwangsbedingungsgleichungen auf der Eingabeseite gleich sind. FrontISTR bietet zur Auswahl das Penalty-Verfahren und die explizite Freiheitsgrad-Elimination; der Standard bei iterativen Verfahren ist die explizite Freiheitsgrad-Elimination, der Standard bei direkten Verfahren das Penalty-Verfahren. Für die Wahl zwischen den Behandlungsmethoden und deren Angabe siehe die MPC-Behandlungsmethode in Solver und Vorkonditionierung.