Zum Inhalt

Kriechen

Dieses Kapitel behandelt das von FrontISTR verwendete Kriech-Stoffgesetz. Einzelheiten zur Anwendung und Eingabespezifikation finden Sie im Funktionsteil 03_material.

Kriechphänomen und additive Dehnungszerlegung

Unter der Bedingung konstanter Spannung ist eine zeitabhängige Verschiebung ein Phänomen, das man als „Kriechen" bezeichnet.

Das zuvor beschriebene viskoelastische Verhalten kann ebenfalls als eine Art lineares Kriechphänomen betrachtet werden. Hier sollen einige nichtlineare Kriechphänomene beschrieben werden. Für dieses Phänomen wird üblicherweise ein Ansatz verwendet, bei dem das Stoffgesetz durch Hinzufügen zu der momentan auftretenden Dehnung gebildet wird, wobei die Dehnung, die während der Dauer einer bestimmten konstanten Last auftritt, als Kriechdehnung \(\varepsilon^c\) bezeichnet wird. Für das Stoffgesetz unter Berücksichtigung des Kriechens wird üblicherweise die Kriechdehnrate \(\dot{\varepsilon}^c\) verwendet, die als Funktion der Spannung und der gesamten Kriechdehnung definiert ist.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Wenn hierbei die momentan auftretende Dehnung die elastische Dehnung \(\varepsilon^e\) ist, wird die Gesamtdehnung durch die folgende Gleichung ausgedrückt, die die Kriechdehnung hinzufügt.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

Hierbei ist

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) ist der Elastizitätstensor).

Norton-Gesetz

Als konkrete Form des Kriech-Stoffgesetzes verwendet FrontISTR das folgende Norton-Modell. Bei diesem Stoffgesetz wird die äquivalente Kriechdehnrate \(\dot{\varepsilon}^{cr}\), wie in der folgenden Gleichung, als Funktion der von-Mises-Spannung \(q\) und der Zeit \(t\) ausgedrückt.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Hierbei sind \(A\), \(m\) und \(n\) Materialkonstanten.

Zeitintegration und Spannungsaktualisierung

Wie bei plastischen Materialien muss auch für ein Stoffgesetz, das Kriechen zeigt, eine numerische Zeitintegrationsmethode angegeben werden. Das Stoffgesetz unter Berücksichtigung des Kriechens lautet:

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

Hierbei ist \(\beta_{n+\theta}\) gegeben durch

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

definiert. Außerdem wird das Kriechdehnungsinkrement \(\Delta \varepsilon^c\) durch die folgende vereinfachte nichtlineare Gleichung

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

festgelegt.

Bei der iterativen Berechnung mit dem Newton-Raphson-Verfahren werden als Anfangswert \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) sowie das aus der Finite-Elemente-Methode ermittelte Dehnungsinkrement verwendet, und die iterative Lösung sowie die Inkrementlösung ergeben sich wie folgt.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

Hierbei ist

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

definiert. Wird das iterative Verfahren durchgeführt, bis das Residuum \(R\) gleich \(\mathbf{0}\) wird, ergeben sich die Spannung \(\sigma_{n+1}\) und der Tangentenmodul

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

die verwendet werden.

Verwandte Themen