Nichtlineare Iteration und Zeitintegration¶

FrontISTR führt die Lösung fort, indem in jedem Substep innerhalb der Inkrementsteuerung eines Schritts nichtlineare Iterationen und Zeitintegration kombiniert werden. Diese Seite beschreibt die Iterationsstrukturen zwischen der äußeren Schrittsteuerung und dem inneren linearen Solver: Newton-Raphson-Iterationen, Kontaktiterationen, die Zeitintegration der dynamischen Analyse sowie den Rahmen für Zeitfortschritt und nichtlineare Iteration bei instationärer Wärmeleitung.

Überblick¶

Die nichtlineare Lösung und die Zeitintegration innerhalb eines Schritts besitzen eine verschachtelte Struktur aus mehreren Schleifen von außen nach innen. Die einzelnen Ebenen haben folgende Aufgaben.

Ebene	Aufgabe	Hauptreferenzseite
Schrittschleife	Unterteilt die gesamte Analyse in mehrere Schritte und schaltet Randbedingungen, Lasten, Kontakt und Elementaktivierung um.	Schrittsteuerung
Substep-Schleife	Unterteilt einen Schritt in Zeitinkremente und schreitet mit festen oder automatischen Inkrementen und cutback fort.	Schrittsteuerung
Zustandsfortschritt durch Zeitintegration	Ermittelt bei dynamischer Analyse und instationärer Wärmeleitung den Zustand zum nächsten Zeitpunkt aus dem Zustand des vorherigen Schritts.	Diese Seite
Schleife zur Suche des Kontaktzustands	Sucht bei Kontaktanalysen nach Änderungen des Kontaktzustands (Kontakt/Trennung) und aktualisiert die Struktur der Steifigkeitsmatrix.	Diese Seite
Äußere Augmented-Lagrange-Iteration	Verbessert bei `ALAGRANGE`-Kontakt schrittweise die Genauigkeit der Kontaktzwangsbedingung.	Diese Seite
Newton-Iteration	Löst nichtlineare Gleichgewichtsbedingungen iterativ mit dem Newton-Raphson-Verfahren.	Diese Seite
Lösung des linearen Gleichungssystems	Löst in jeder Newton-Iteration das auf der Tangentensteifigkeitsmatrix basierende lineare Gleichungssystem.	Solver und Vorkonditionierung

Welche dieser Ebenen auftreten, hängt vom Analysetyp ab.

Analysetyp	Zeitintegration	Kontaktzustandssuche	Äußere Iteration	Newton-Iteration
Lineare statische Analyse	—	—	—	—
Nichtlineare statische Analyse (ohne Kontakt)	—	—	—	Ja
Nichtlineare statische Analyse (`SLAGRANGE`-Kontakt)	—	Ja	—	Ja
Nichtlineare statische Analyse (`ALAGRANGE`-Kontakt)	—	Ja	Ja	Ja
Dynamische Analyse, implizit	Newmark-β	—	—	Ja (bei Nichtlinearität)
Dynamische Analyse, explizit	Zentrale Differenzen	—	—	—
Frequenzganganalyse	Modale Superposition	—	—	—
Instationäre Wärmeleitung	Crank-Nicolson / Rückwärts-Euler	—	—	Ja (bei temperaturabhängigen Materialeigenschaften)
Stationäre Wärmeleitung	—	—	—	Ja (bei temperaturabhängigen Materialeigenschaften)

Informationen zur Auswahl des Kontakttyps und des Algorithmus selbst finden Sie unter Kontakt und Einbettung. Diese Seite beschreibt, wie der ausgewählte Algorithmus als Iterationsschleife organisiert ist.

Auswahl des Lösungsschemas¶

Die Iterationsstruktur wird automatisch aus dem ausgewählten Analysetyp (Analysetypen), dem Vorhandensein oder Fehlen von Nichtlinearität (geometrische Nichtlinearität, Materialnichtlinearität oder Kontakt) und dem Kontaktalgorithmus (SLAGRANGE oder ALAGRANGE) bestimmt. Der Benutzer passt direkt die Obergrenzen der Iterationszahlen und die Konvergenzkriterien an.

Für die Abstimmung dieser Einstellungen gelten die folgenden Richtlinien.

Bei Standardanalysen ist die voreingestellte Obergrenze der Iterationszahl im Allgemeinen ausreichend. Erreicht ein schwer konvergierendes Problem die maximale Iterationszahl ohne Konvergenz, verwenden Sie zunächst cutback (Schrittsteuerung); erhöhen Sie die Obergrenze erst, wenn dadurch keine Verbesserung der Konvergenz erzielt wird.
Passen Sie die Konvergenzkriterien so an, dass Analysestabilität und Rechenzeit ausgewogen sind. Strengere Kriterien verbessern die Gleichgewichtsgenauigkeit, erhöhen jedoch die Anzahl der Iterationen. Bei Kontaktanalysen und Analysen mit Lagrange-Multiplikatoren kann die Kombination des Residuumskriteriums mit einem Kriterium für das Verschiebungsinkrement oder für die Lagrange-Multiplikatoren die Stabilität verbessern.
Beginnen Sie bei den Zeitintegrationsparametern der dynamischen Analyse (Newmark-β-Koeffizienten) mit einer Standardkombination von Werten und passen Sie diese an, wenn die Eigenschaften der numerischen Dämpfung der Schwingungsantwort geändert werden sollen.
Verwenden Sie für die Zeitintegration der instationären Wärmeleitung Crank-Nicolson bei Problemen mit glatten Temperaturänderungen und Rückwärts-Euler, wenn starke Änderungen oder Langzeitstabilität wichtiger sind.

Newton-Raphson-Iteration bei statischer Analyse¶

Bei einer nichtlinearen statischen Analyse werden Gleichgewichtsbedingungen mit geometrischer oder materieller Nichtlinearität iterativ mit dem Newton-Raphson-Verfahren gelöst. Jede Iteration läuft wie folgt ab.

Der Residuenvektor \(\boldsymbol{R}\) wird für die aktuelle Lösung ausgewertet.
Die Tangentensteifigkeitsmatrix \(\boldsymbol{K}_T\) wird assembliert.
Das lineare Gleichungssystem \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) wird gelöst, um die Verschiebungskorrektur \(\Delta \boldsymbol{u}\) zu erhalten.
Die Lösung wird gemäß \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) aktualisiert.
Die Konvergenzkriterien werden geprüft. Bei Konvergenz endet die Iteration; andernfalls wird zu Schritt 1 zurückgekehrt.

Der lineare Solver führt die Lösung des linearen Gleichungssystems (Schritt 3) aus. Informationen zur Auswahl von Solver und Vorkonditionierer finden Sie unter Solver und Vorkonditionierung.

Die Iteration wird mit den Schrittsteuerungsparametern von !STEP gesteuert. Die wichtigsten Steuerwerte sind:

Aufgabe	Parameter
Obergrenze der Iterationszahl. Wird die Grenze ohne Konvergenz erreicht, wird der Substep einem cutback unterzogen.	`MAXITER`
Konvergenzkriterium auf Basis der relativen Residuumsnorm.	`CONVERG`
Konvergenzkriterium auf Basis des Normverhältnisses der Verschiebungskorrektur. Wird zusammen mit dem Residuumskriterium zur Verbesserung der Stabilität verwendet.	`CONVERG_DDISP`
Divergenzkriterium für die Residuumsnorm. Die Iteration wird beendet, wenn dieser Wert überschritten wird.	`MAXRES`

Die maximale Anzahl von Newton-Iterationen, auf die sich die Entscheidungen über automatische Inkremente und cutback in Schrittsteuerung beziehen, ist die auf dieser Seite beschriebene Zahl der Newton-Iterationen. Die automatische Inkrementsteuerung vergrößert das Zeitinkrement nach einem Substep, der in wenigen Iterationen konvergiert ist, und verkleinert es nach einem Substep, der viele Iterationen benötigt hat.

Kontaktiteration bei statischer Analyse¶

Bei Kontaktanalysen ändert sich der Kontaktzustand während der Iteration durch Kontakt, Trennung und Gleiten an den Kontaktflächen. Deshalb wird die Newton-Iteration mit Aktualisierungen des Kontaktzustands kombiniert. Die Struktur hängt vom Kontaktlösungsalgorithmus ab.

Beide Algorithmen besitzen auf der äußersten Ebene eine Schleife zur Suche des Kontaktzustands. Bei jedem Durchlauf dieser Schleife wird nach Konvergenz der inneren Newton-Iteration der Kontaktzustand (Kontakt/Trennung) erneut ausgewertet. Hat sich der Zustand geändert, wird die Struktur der Steifigkeitsmatrix aktualisiert und die innere Iteration erneut ausgeführt. Die Schleife endet, wenn der Kontaktzustand gegenüber dem vorherigen Durchlauf unverändert ist und die Kontakt-Konvergenzkriterien (Kontaktkraft- und Lagrange-Multiplikator-Kriterium) erfüllt sind. Die Obergrenze der Durchläufe wird mit MAXCONTITER von !STEP angegeben.

Bei SLAGRANGE-Kontakt werden die Kontaktfreiheitsgrade mit dem üblichen Lagrange-Multiplikatorverfahren in das lineare Gleichungssystem aufgenommen. Dadurch entsteht eine zweistufige Struktur, bei der die Newton-Iteration direkt innerhalb der Kontaktzustandssuchschleife liegt. Eine Augmented-Lagrange-Iteration findet nicht statt.

Bei ALAGRANGE-Kontakt wird innerhalb der Kontaktzustandssuchschleife zusätzlich eine Augmented-Lagrange-Iteration eingefügt, in der wiederum die Newton-Iteration ausgeführt wird; damit entsteht eine dreistufige Struktur. In jeder Augmented-Lagrange-Iteration wird die Kontaktzwangsbedingung anhand einer Kombination aus Strafterm und Lagrange-Multiplikator erneut bewertet und ihre Genauigkeit schrittweise verbessert. Die Obergrenze der Augmented-Lagrange-Iterationen wird mit AUGITER von !CONTACT_ALGO angegeben.

Die Steuerwerte für die Kontaktiteration sind:

Aufgabe	Angabe in
Obergrenze der Iterationszahl der Kontaktzustandssuchschleife. Wird sowohl für `SLAGRANGE` als auch für `ALAGRANGE` verwendet.	`!STEP` `MAXCONTITER`
Obergrenze der Anzahl der Augmented-Lagrange-Iterationen. Wird nur für `ALAGRANGE` verwendet.	`!CONTACT_ALGO` `AUGITER`
Konvergenzkriterium für die Korrektur des Lagrange-Multiplikators. Wird bei Analysen mit Kontakt zusammen mit dem Residuumskriterium verwendet.	`!STEP` `CONVERG_LAG`

Die Anzahl der Kontaktiterationen, auf die sich Entscheidungen über automatische Inkremente in Schrittsteuerung beziehen, ist die auf dieser Seite beschriebene Iterationszahl einschließlich der Aktualisierung des Kontaktzustands. Analysen mit häufigem Kontakt und Trennung benötigen tendenziell mehr Kontaktiterationen, was sich auch auf die Entscheidungen über automatische Inkremente und cutback auswirkt. Informationen zu Kontakttypen, Paardefinitionen und Auswahl des Algorithmus finden Sie unter Kontakt und Einbettung. Informationen zur Lösung des linearen Gleichungssystems mit Kontaktfreiheitsgraden finden Sie unter Solver und Vorkonditionierung.

Zeitintegration bei dynamischer Analyse (implizites Verfahren)¶

Das implizite Verfahren der dynamischen Analyse verwendet das Newmark-β-Verfahren, um in jedem Zeitschritt Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung zum nächsten Zeitpunkt miteinander in Beziehung zu setzen, und kombiniert diese Beziehungen mit der Bewegungsgleichung, um den Zustand zum Zeitpunkt \(t + \Delta t\) zu bestimmen. Die Stabilitätsbeschränkung für den Zeitschritt \(\Delta t\) ist gering, sodass strukturelle Antworten, die von niederfrequenten Anteilen dominiert werden, effizient berechnet werden können.

Die folgenden beiden Zeitintegrationsparameter werden verwendet.

Parameter	Aufgabe
\(\beta\)	Koeffizient für die zeitliche Interpolation der Verschiebung.
\(\gamma\)	Koeffizient für die zeitliche Interpolation der Geschwindigkeit.

Die Kombination \(\beta = 1/4\) und \(\gamma = 1/2\) wird als Methode der mittleren Beschleunigung bezeichnet und ist eine Standardwahl, die unbedingt stabil ist und keine numerische Dämpfung besitzt. Um numerische Dämpfung einzuführen, wählen Sie \(\gamma\) größer als \(1/2\). Mathematische Einzelheiten zu Parameterkombinationen, Stabilität und Fehlereigenschaften finden Sie im Theoriehandbuch.

Wenn Nichtlinearität (geometrische Nichtlinearität, Materialnichtlinearität oder Kontakt) enthalten ist, wird innerhalb jedes Zeitschritts eine Newton-Iteration durchgeführt; innerhalb der Iteration wird das lineare Gleichungssystem gelöst und der Zustand aktualisiert. Für die Konvergenzkriterien werden CONVERG und zugehörige Werte gemeinsam mit der statischen Analyse verwendet. Bei dynamischer Analyse mit Kontakt wird in jeden Zeitschritt dieselbe Iterationsstruktur wie unter Kontaktiteration bei statischer Analyse eingebettet.

Der Zeitschritt der dynamischen Analyse wird hauptsächlich durch die Zeitbedingungen von !STEP gesteuert. Bei festen Inkrementen gibt !STEP DTIME als Zeitschritt und ETIME als Schrittdauer an. Die Werte n_step und t_delta von !DYNAMIC werden als Standardwerte behandelt, wenn !STEP fehlt, sowie aus Gründen der Rückwärtskompatibilität. Beim nichtlinearen impliziten Verfahren aktiviert !STEP mit INC_TYPE=AUTO automatische Inkremente und cutback; der Zeitschritt wird abhängig vom Zustand der Newton- und Kontaktiterationen vergrößert oder verkleinert. Unabhängig davon, ob feste oder automatische Inkremente verwendet werden, ist der Zeitschritt unter Berücksichtigung sowohl der Konvergenz als auch der erforderlichen Genauigkeit festzulegen.

Zeitintegration bei dynamischer Analyse (explizites Verfahren)¶

Das explizite Verfahren der dynamischen Analyse verwendet das zentrale Differenzenverfahren, um den Zustand zum nächsten Zeitpunkt unmittelbar nur aus den Verschiebungs-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsinformationen des vorherigen Zeitpunkts zu berechnen. Da keine simultanen Gleichungen gelöst werden, sind die Rechenkosten pro Schritt gering. Selbst bei Nichtlinearität ist jeder Zeitschritt eine einstufige Aktualisierung ohne Newton-Iteration.

Für den Zeitschritt gilt eine durch eine Stabilitätsbedingung auf Basis der kleinsten Eigenperiode des Systems bestimmte Obergrenze (CFL-Bedingung). Ein Zeitschritt oberhalb dieser Grenze führt zur Divergenz der numerischen Lösung; große Zeitschritte wie beim impliziten Verfahren können daher nicht verwendet werden. Das explizite Verfahren ist vorteilhaft für Vorgänge wie Stoß, Wellenausbreitung und schnellen Kontakt, bei denen ohnehin kleine Zeitschritte erforderlich sind.

Bei Kontakt wird das Forward-Increment-Lagrange-Verfahren zur Durchsetzung der Kontaktzwangsbedingungen verwendet. Die Kontaktkräfte werden in einer Weise ausgewertet, die mit der einstufigen Aktualisierung des expliziten Verfahrens konsistent ist.

Lösungsverfahren der Frequenzganganalyse¶

Die Frequenzganganalyse bestimmt die periodische stationäre Antwort im Frequenzbereich direkt mit dem Verfahren der modalen Superposition. Sie wertet die Antwort bei Variation der Anregungsfrequenz aus und muss keinen Zeitverlauf durch Iterationen verfolgen. Es werden weder nichtlineare Iterationen noch eine Zeitintegration durchgeführt.

Vor der Frequenzganganalyse muss für dasselbe System eine Modalanalyse durchgeführt und die erforderliche Anzahl von Eigenmoden extrahiert werden. Es werden nur lineare Modelle unterstützt; bei aktivierter geometrischer oder materieller Nichtlinearität kann die Analyse nicht durchgeführt werden. Zur Einordnung dieses Analysetyps siehe Analysetypen.

Zeitfortschritt und nichtlineare Iteration bei instationärer Wärmeleitung¶

Die instationäre Wärmeleitung besitzt eine eigene Zeitschleife, die vollständig innerhalb von !HEAT abgearbeitet wird. Der Zeitschritt wird über einen von !STEP und !AUTOINC_PARAM der Strukturanalyse getrennten Pfad gesteuert; bei temperaturabhängigen Materialeigenschaften wird innerhalb jedes Zeitschritts eine nichtlineare Iteration durchgeführt.

Das Zeitintegrationsschema wird mit dem Parameter \(\beta\) von !HEAT ausgewählt.

\(\beta\)	Schema	Eigenschaften
0.5	Crank-Nicolson-Verfahren	Genauigkeit zweiter Ordnung. Geeignet für Probleme mit glatten Temperaturänderungen.
1.0	Rückwärts-Euler-Verfahren	Genauigkeit erster Ordnung. Unbedingt stabil und geeignet für Langzeitanalysen und starke Temperaturänderungen.

Der Zeitschritt wird adaptiv durch Kombination des anfänglichen Zeitschritts, des minimalen Zeitschritts und der maximalen Temperaturänderung pro Schritt gesteuert. Überschreitet die Temperaturänderung nach der Berechnung eines Zeitschritts DELTMX, wird der Zeitschritt verkleinert und der Schritt erneut berechnet. Die Analyse wird abgebrochen, wenn der Zeitschritt unter den minimalen Zeitschritt DTMIN fällt.

Bei temperaturabhängigen Materialeigenschaften wird innerhalb jedes Zeitschritts eine nichtlineare Iteration durchgeführt. Die Iteration wird wie folgt gesteuert.

Aufgabe	Parameter
Obergrenze der nichtlinearen Iterationen.	`!HEAT` `ITMAX`
Konvergenzkriterium.	`!HEAT` `EPS`

Bei stationärer Wärmeleitung erfolgt kein Zeitfortschritt; nur bei temperaturabhängigen Materialeigenschaften wird eine nichtlineare Iteration durchgeführt. Da die Zeitsteuerung der Wärmeleitungsanalyse unabhängig von !STEP der Strukturanalyse ist, müssen bei der Anpassung des Zeitschritts die Einstellungen von !HEAT überprüft werden.