Перейти к содержанию

Нелинейные итерации и интегрирование по времени

FrontISTR продвигает решение, сочетая нелинейные итерации и интегрирование по времени на каждом подшаге в рамках управления приращениями каждого шага. На этой странице описаны итерационные структуры между внешним управлением шагами и внутренним линейным решателем: итерации Ньютона—Рафсона, контактные итерации, интегрирование по времени в динамическом анализе, а также схема продвижения по времени и нелинейных итераций в нестационарной теплопроводности.

Обзор

Нелинейное решение и интегрирование по времени внутри шага имеют вложенную структуру из нескольких циклов, расположенных от внешнего к внутреннему. Каждый уровень выполняет следующую роль.

Уровень Назначение Основная справочная страница
Цикл шагов Делит весь анализ на несколько шагов и переключает граничные условия, нагрузки, контакт и активацию элементов. Управление шагами
Цикл подшагов Делит один шаг на приращения времени и выполняет продвижение с фиксированными или автоматическими приращениями и cutback. Управление шагами
Продвижение состояния при интегрировании по времени В динамическом анализе и нестационарной теплопроводности получает состояние в следующий момент времени из состояния предыдущего шага. Эта страница
Цикл поиска состояния контакта В контактном анализе ищет изменения состояния контакта (контакт/разделение) и обновляет структуру матрицы жесткости. Эта страница
Внешняя итерация расширенного Лагранжа При контакте ALAGRANGE последовательно повышает точность контактных ограничений. Эта страница
Итерация Ньютона Итерационно решает нелинейные уравнения равновесия методом Ньютона—Рафсона. Эта страница
Решение линейной системы На каждой итерации Ньютона решает линейную систему на основе касательной матрицы жесткости. Решатель и предобусловливание

Наличие этих уровней зависит от типа анализа.

Тип анализа Интегрирование по времени Поиск состояния контакта Внешняя итерация Итерация Ньютона
Линейный статический анализ — — — —
Нелинейный статический анализ (без контакта) — — — Да
Нелинейный статический анализ (контакт SLAGRANGE) — Да — Да
Нелинейный статический анализ (контакт ALAGRANGE) — Да Да Да
Динамический анализ, неявный Ньюмарк-β — — Да (при нелинейности)
Динамический анализ, явный Центральные разности — — —
Анализ частотного отклика Модальная суперпозиция — — —
Нестационарная теплопроводность Кранк—Николсон / неявный Эйлер — — Да (если свойства материала зависят от температуры)
Стационарная теплопроводность — — — Да (если свойства материала зависят от температуры)

Выбор типа контакта и самого алгоритма описан в разделе Контакт и встраивание. Здесь рассматривается организация выбранного алгоритма в виде итерационного цикла.

Выбор схемы решения

Итерационная структура определяется автоматически на основе выбранного типа анализа (Типы анализа), наличия или отсутствия нелинейности (геометрической, материальной или контакта) и контактного алгоритма (SLAGRANGE или ALAGRANGE). Пользователь непосредственно настраивает верхние пределы числа итераций и критерии сходимости.

При настройке этих параметров используйте следующие рекомендации.

  • Для стандартных анализов обычно достаточно верхнего предела числа итераций по умолчанию. Если задача с трудной сходимостью достигает максимального числа итераций без сходимости, сначала используйте cutback (Управление шагами); увеличивайте верхний предел только если это не улучшает сходимость.
  • Настраивайте критерии сходимости с учетом баланса между устойчивостью анализа и временем вычислений. Более строгие критерии повышают точность равновесия, но увеличивают число итераций. В контактных анализах и анализах с множителями Лагранжа сочетание критерия приращения перемещения или критерия Лагранжа с критерием невязки может повысить устойчивость.
  • Для параметров интегрирования по времени в динамическом анализе (коэффициентов Ньюмарка-β) начинайте со стандартного сочетания значений и изменяйте их при настройке характеристик численного демпфирования колебательного отклика.
  • Для схемы интегрирования по времени в нестационарной теплопроводности используйте метод Кранка—Николсона при плавных изменениях температуры и неявный метод Эйлера, когда важнее резкие изменения или долговременная устойчивость.

Итерации Ньютона—Рафсона в статическом анализе

В нелинейном статическом анализе уравнения равновесия с геометрической или материальной нелинейностью решаются итерационно методом Ньютона—Рафсона. Каждая итерация выполняется следующим образом.

  1. Вычислить вектор невязки \(\boldsymbol{R}\) для текущего решения.
  2. Собрать касательную матрицу жесткости \(\boldsymbol{K}_T\).
  3. Решить линейную систему \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) и получить поправку перемещений \(\Delta \boldsymbol{u}\).
  4. Обновить решение: \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
  5. Проверить критерии сходимости. Если сходимость достигнута, завершить итерацию; в противном случае вернуться к пункту 1.

Решение линейной системы (пункт 3) выполняет линейный решатель. Выбор решателя и предобусловливателя см. в разделе Решатель и предобусловливание.

Итерации управляются параметрами шага !STEP. Основные управляющие значения следующие.

Назначение Параметр
Верхний предел числа итераций. Если предел достигнут без сходимости, для подшага применяется cutback. MAXITER
Критерий сходимости на основе относительной нормы невязки. CONVERG
Критерий сходимости на основе отношения норм поправки перемещений. Используется вместе с критерием невязки для повышения устойчивости. CONVERG_DDISP
Критерий расходимости по норме невязки. При превышении этого значения итерации прекращаются. MAXRES

Максимальное число итераций Ньютона, используемое при принятии решений об автоматическом приращении и cutback в разделе Управление шагами, означает число итераций Ньютона, описанных на этой странице. Управление автоматическим приращением увеличивает приращение времени после подшага, сошедшегося за малое число итераций, и уменьшает его после подшага, потребовавшего много итераций.

Контактные итерации в статическом анализе

В контактном анализе состояние контакта изменяется в ходе итераций из-за контакта, разделения и скольжения на контактных поверхностях, поэтому итерации Ньютона сочетаются с обновлением состояния контакта. Структура зависит от алгоритма решения контакта.

В обоих алгоритмах на самом внешнем уровне находится цикл поиска состояния контакта. На каждом проходе этого цикла после сходимости внутренней итерации Ньютона заново оценивается состояние контакта (контакт/разделение). Если состояние изменилось, структура матрицы жесткости обновляется и внутренняя итерация выполняется снова. Цикл завершается, когда состояние контакта не изменяется относительно предыдущего прохода и удовлетворены критерии сходимости контакта (по контактной силе и множителю Лагранжа). Верхний предел числа проходов задается параметром MAXCONTITER в !STEP.

При контакте SLAGRANGE контактные степени свободы включаются в линейную систему стандартным методом множителей Лагранжа, образуя двухуровневую структуру, в которой итерация Ньютона находится непосредственно внутри цикла поиска состояния контакта. Итерация расширенного Лагранжа не используется.

При контакте ALAGRANGE внутри цикла поиска состояния контакта добавляется итерация расширенного Лагранжа, а внутри нее выполняется итерация Ньютона, что дает трехуровневую структуру. На каждой итерации расширенного Лагранжа контактное ограничение пересчитывается с использованием комбинации штрафного члена и множителя Лагранжа, постепенно повышая точность ограничения. Верхний предел числа итераций расширенного Лагранжа задается параметром AUGITER в !CONTACT_ALGO.

Управляющие значения для контактных итераций следующие.

Назначение Где задается
Верхний предел числа итераций цикла поиска состояния контакта. Используется для SLAGRANGE и ALAGRANGE. !STEP MAXCONTITER
Верхний предел числа итераций расширенного Лагранжа. Используется только для ALAGRANGE. !CONTACT_ALGO AUGITER
Критерий сходимости поправки множителя Лагранжа. В анализах с контактом используется вместе с критерием невязки. !STEP CONVERG_LAG

Число контактных итераций, используемое при принятии решений об автоматическом приращении в разделе Управление шагами, означает число описанных здесь итераций, включая обновления состояния контакта. Анализы с частым возникновением контакта и разделением обычно требуют большего числа контактных итераций, что также влияет на решения об автоматическом приращении и cutback. Типы контакта, определения пар и выбор алгоритма см. в разделе Контакт и встраивание. Решение линейной системы, содержащей контактные степени свободы, описано в разделе Решатель и предобусловливание.

Интегрирование по времени в динамическом анализе (неявный метод)

Неявный метод динамического анализа использует метод Ньюмарка-β для связи перемещения, скорости и ускорения в следующий момент времени на каждом временном шаге и объединяет эти соотношения с уравнением движения для получения состояния в момент \(t + \Delta t\). Ограничение устойчивости на временной шаг \(\Delta t\) сравнительно мягкое, что позволяет эффективно рассчитывать отклик конструкции, в котором преобладают низкочастотные компоненты.

Используются следующие два параметра интегрирования по времени.

Параметр Назначение
\(\beta\) Коэффициент, связанный с интерполяцией перемещения по времени.
\(\gamma\) Коэффициент, связанный с интерполяцией скорости по времени.

Сочетание \(\beta = 1/4\) и \(\gamma = 1/2\) называется методом среднего ускорения и является стандартным выбором: оно безусловно устойчиво и не имеет численного демпфирования. Для введения численного демпфирования выбирайте \(\gamma\) больше \(1/2\). Математические подробности сочетаний параметров, устойчивости и характеристик погрешности см. в теоретическом руководстве.

При наличии нелинейности (геометрической, материальной или контакта) внутри каждого временного шага выполняются итерации Ньютона; внутри итерации решается линейная система и обновляется состояние. В критериях сходимости используются CONVERG и связанные значения, общие со статическим анализом. В динамическом анализе с контактом в каждый временной шаг включается та же итерационная структура, что и в разделе Контактные итерации в статическом анализе.

Временной шаг динамического анализа главным образом управляется временными условиями !STEP. При фиксированных приращениях !STEP задает DTIME как временной шаг, а ETIME как длительность шага. Значения n_step и t_delta из !DYNAMIC рассматриваются как значения по умолчанию при отсутствии !STEP и для обратной совместимости. В нелинейном неявном методе !STEP с INC_TYPE=AUTO включает автоматические приращения и cutback, увеличивая или уменьшая временной шаг в зависимости от состояния итераций Ньютона и контактных итераций. Независимо от использования фиксированных или автоматических приращений выбирайте временной шаг с учетом как сходимости, так и требуемой точности.

Интегрирование по времени в динамическом анализе (явный метод)

Явный метод динамического анализа использует метод центральных разностей и непосредственно вычисляет состояние в следующий момент времени только по перемещению, скорости и ускорению в предыдущий момент. Поскольку система одновременных уравнений не решается, вычислительные затраты на шаг невелики. Даже при наличии нелинейности каждый временной шаг представляет собой одноэтапное обновление без итераций Ньютона.

Временной шаг имеет верхний предел, определяемый условием устойчивости на основе минимального собственного периода системы (условием CFL). Если временной шаг превышает этот предел, численное решение расходится, поэтому большие временные шаги, возможные в неявном методе, использовать нельзя. Явный метод выгоден для таких явлений, как удар, распространение волн и высокоскоростной контакт, где малые временные шаги необходимы по самой природе задачи.

При наличии контакта для наложения контактных ограничений используется метод Forward Increment Lagrange. Контактные силы оцениваются способом, согласованным с одноэтапным обновлением явного метода.

Метод решения анализа частотного отклика

Анализ частотного отклика непосредственно определяет периодический установившийся отклик в частотной области методом модальной суперпозиции. Отклик оценивается при изменении частоты возбуждения, поэтому отслеживать временную историю через итерации не требуется. Нелинейные итерации и интегрирование по времени не выполняются.

Перед выполнением анализа частотного отклика для той же системы необходимо провести модальный анализ и извлечь требуемое число собственных форм. Поддерживаются только линейные модели; анализ невозможно выполнить при включенной геометрической или материальной нелинейности. Место этого типа анализа среди остальных см. в разделе Типы анализа.

Продвижение по времени и нелинейные итерации в нестационарной теплопроводности

Нестационарная теплопроводность имеет собственный временной цикл, выполняемый в рамках !HEAT. Временной шаг управляется механизмом, отдельным от !STEP и !AUTOINC_PARAM структурного анализа, а если свойства материала зависят от температуры, внутри каждого временного шага выполняются нелинейные итерации.

Схема интегрирования по времени выбирается параметром \(\beta\) в !HEAT.

\(\beta\) Схема Характеристики
0.5 Метод Кранка—Николсона Точность второго порядка. Подходит для задач с плавным изменением температуры.
1.0 Неявный метод Эйлера Точность первого порядка. Безусловно устойчив и обеспечивает устойчивость при длительных анализах и резких изменениях температуры.

Временной шаг адаптивно управляется сочетанием начального временного шага, минимального временного шага и максимального изменения температуры за шаг. Если после расчета временного шага изменение температуры превышает DELTMX, временной шаг уменьшается и шаг пересчитывается. Анализ прерывается, если временной шаг становится меньше минимального временного шага DTMIN.

Если свойства материала зависят от температуры, внутри каждого временного шага выполняются нелинейные итерации. Управление итерациями осуществляется следующим образом.

Назначение Параметр
Верхний предел числа нелинейных итераций. !HEAT ITMAX
Критерий сходимости. !HEAT EPS

В стационарной теплопроводности временные шаги не используются; нелинейные итерации выполняются только при зависимости свойств материала от температуры. Поскольку управление временем анализа теплопроводности не зависит от !STEP структурного анализа, при настройке временного шага проверяйте параметры !HEAT.

Связанные темы