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Iteração não linear e integração temporal

O FrontISTR faz avançar a solução combinando iterações não lineares e integração temporal em cada subpasso, no âmbito do controlo de incrementos de cada passo. Esta página descreve as estruturas iterativas situadas entre o controlo exterior dos passos e o solver linear interior: iterações de Newton-Raphson, iterações de contacto, integração temporal para análise dinâmica e a estrutura de avanço temporal e iteração não linear na condução térmica transiente.

Visão geral

A solução não linear e a integração temporal dentro de um passo têm uma estrutura aninhada constituída por vários ciclos, do exterior para o interior. Cada camada desempenha a seguinte função.

Camada Função Página principal de referência
Ciclo de passos Divide toda a análise em vários passos e comuta condições de fronteira, cargas, contacto e ativação de elementos. Controlo de passos
Ciclo de subpassos Divide um passo em incrementos de tempo e avança com incrementos fixos ou com incrementos automáticos e cutback. Controlo de passos
Avanço do estado por integração temporal Na análise dinâmica e na condução térmica transiente, obtém o estado no instante seguinte a partir do estado do passo anterior. Esta página
Ciclo de pesquisa do estado de contacto Na análise de contacto, pesquisa alterações do estado de contacto (contacto/separação) e atualiza a estrutura da matriz de rigidez. Esta página
Iteração exterior de Lagrange aumentado Com contacto ALAGRANGE, melhora progressivamente a precisão da restrição de contacto. Esta página
Iteração de Newton Resolve iterativamente as equações de equilíbrio não lineares pelo método de Newton-Raphson. Esta página
Resolução do sistema linear Resolve o sistema linear baseado na matriz de rigidez tangente em cada iteração de Newton. Solver e pré-condicionamento

As camadas presentes dependem do tipo de análise.

Tipo de análise Integração temporal Pesquisa do estado de contacto Iteração exterior Iteração de Newton
Análise estática linear — — — —
Análise estática não linear (sem contacto) — — — Sim
Análise estática não linear (contacto SLAGRANGE) — Sim — Sim
Análise estática não linear (contacto ALAGRANGE) — Sim Sim Sim
Análise dinâmica, método implícito Newmark-β — — Sim (quando não linear)
Análise dinâmica, método explícito Diferenças centrais — — —
Análise de resposta em frequência Sobreposição modal — — —
Condução térmica transiente Crank-Nicolson / Euler implícito — — Sim (quando as propriedades do material dependem da temperatura)
Condução térmica estacionária — — — Sim (quando as propriedades do material dependem da temperatura)

Para saber como selecionar o tipo de contacto e o próprio algoritmo, consulte Contacto e incorporação. Esta página descreve a forma como o algoritmo selecionado é organizado enquanto ciclo iterativo.

Escolha do esquema de solução

A estrutura iterativa é determinada automaticamente pelo tipo de análise selecionado (Tipos de análise), pela presença ou ausência de não linearidade (não linearidade geométrica, não linearidade do material ou contacto) e pelo algoritmo de contacto (SLAGRANGE ou ALAGRANGE). O utilizador ajusta diretamente os limites superiores do número de iterações e os critérios de convergência.

Aplicam-se as seguintes orientações ao ajustar estas definições.

  • Em análises padrão, o limite superior predefinido do número de iterações é geralmente suficiente. Se um problema de convergência difícil atingir o número máximo de iterações sem convergir, utilize primeiro cutback (Controlo de passos); aumente o limite superior apenas se isso não melhorar a convergência.
  • Ajuste os critérios de convergência de forma a equilibrar a estabilidade da análise e o tempo de cálculo. Critérios mais rigorosos melhoram a precisão do equilíbrio, mas aumentam o número de iterações. Em análises de contacto e análises que envolvam multiplicadores de Lagrange, a combinação de critérios relativos ao incremento de deslocamento ou a Lagrange com o critério de resíduo pode melhorar a estabilidade.
  • Para os parâmetros de integração temporal na análise dinâmica (coeficientes de Newmark-β), comece com uma combinação de valores padrão e ajuste-os quando pretender alterar as características de amortecimento numérico da resposta vibratória.
  • Para o esquema de integração temporal na condução térmica transiente, utilize Crank-Nicolson para problemas com variações suaves de temperatura e Euler implícito quando forem mais importantes variações bruscas ou a estabilidade a longo prazo.

Iteração de Newton-Raphson na análise estática

Na análise estática não linear, as equações de equilíbrio que contêm não linearidade geométrica ou do material são resolvidas iterativamente pelo método de Newton-Raphson. Cada iteração decorre da seguinte forma.

  1. Avalie o vetor de resíduos \(\boldsymbol{R}\) na solução atual.
  2. Monte a matriz de rigidez tangente \(\boldsymbol{K}_T\).
  3. Resolva o sistema linear \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) para obter a correção de deslocamento \(\Delta \boldsymbol{u}\).
  4. Atualize a solução como \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
  5. Compare com os critérios de convergência. Se a convergência tiver sido atingida, termine a iteração; caso contrário, regresse ao passo 1.

O solver linear efetua a resolução do sistema linear (passo 3). Para selecionar o solver e o pré-condicionador, consulte Solver e pré-condicionamento.

A iteração é controlada através dos parâmetros de controlo de passos de !STEP. Os principais valores de controlo são os seguintes.

Função Parâmetro
Limite superior do número de iterações. Se o limite for atingido sem convergência, o subpasso fica sujeito a cutback. MAXITER
Critério de convergência baseado na norma relativa do resíduo. CONVERG
Critério de convergência baseado na razão entre normas da correção de deslocamento. É utilizado em conjunto com o critério de resíduo para melhorar a estabilidade. CONVERG_DDISP
Critério de divergência para a norma do resíduo. A iteração termina quando este valor é excedido. MAXRES

O número máximo de iterações de Newton referido nas decisões de incremento automático e cutback em Controlo de passos corresponde ao número de iterações de Newton descrito nesta página. O controlo automático de incrementos aumenta o incremento de tempo após um subpasso que tenha convergido em poucas iterações e reduz-o após um subpasso que tenha exigido muitas iterações.

Iteração de contacto na análise estática

Na análise de contacto, o estado de contacto muda durante a iteração devido ao contacto, à separação e ao deslizamento nas superfícies de contacto; por isso, a iteração de Newton é combinada com atualizações do estado de contacto. A estrutura depende do algoritmo de solução do contacto.

Ambos os algoritmos colocam um ciclo de pesquisa do estado de contacto no nível mais exterior. Em cada passagem por este ciclo, o estado de contacto (contacto/separação) é novamente avaliado após a convergência da iteração de Newton interior. Se o estado tiver mudado, a estrutura da matriz de rigidez é atualizada e a iteração interior é executada novamente. O ciclo termina quando o estado de contacto não se altera relativamente à passagem anterior e os critérios de convergência do contacto (critérios da força de contacto e do multiplicador de Lagrange) são satisfeitos. O limite superior do número de passagens é especificado por MAXCONTITER de !STEP.

Com contacto SLAGRANGE, os graus de liberdade de contacto são incorporados no sistema linear pelo método padrão dos multiplicadores de Lagrange, resultando numa estrutura de duas camadas em que a iteração de Newton é colocada diretamente dentro do ciclo de pesquisa do estado de contacto. Não existe iteração de Lagrange aumentado.

Com contacto ALAGRANGE, é adicionada uma iteração de Lagrange aumentado dentro do ciclo de pesquisa do estado de contacto, sendo a iteração de Newton efetuada dentro dessa iteração, o que resulta numa estrutura de três camadas. Em cada iteração de Lagrange aumentado, a restrição de contacto é reavaliada através de uma combinação do termo de penalização e do multiplicador de Lagrange, melhorando progressivamente a precisão da restrição. O limite superior do número de iterações de Lagrange aumentado é especificado por AUGITER de !CONTACT_ALGO.

Os valores de controlo da iteração de contacto são os seguintes.

Função Especificado em
Limite superior do número de iterações do ciclo de pesquisa do estado de contacto. Utilizado tanto para SLAGRANGE como para ALAGRANGE. !STEP MAXCONTITER
Limite superior do número de iterações de Lagrange aumentado. Utilizado apenas para ALAGRANGE. !CONTACT_ALGO AUGITER
Critério de convergência da correção do multiplicador de Lagrange. Utilizado em conjunto com o critério de resíduo em análises com contacto. !STEP CONVERG_LAG

O número de iterações de contacto referido nas decisões de incremento automático em Controlo de passos corresponde ao número de iterações descrito nesta página, incluindo as atualizações do estado de contacto. As análises em que o contacto e a separação ocorrem frequentemente tendem a exigir mais iterações de contacto, o que também afeta as decisões de incremento automático e cutback. Para os próprios tipos de contacto, definições de pares e seleção do algoritmo, consulte Contacto e incorporação. Para saber como resolver o sistema linear que contém graus de liberdade de contacto, consulte Solver e pré-condicionamento.

Integração temporal na análise dinâmica (método implícito)

O método implícito para análise dinâmica utiliza o método de Newmark-β para relacionar o deslocamento, a velocidade e a aceleração no instante seguinte em cada passo de tempo e combina estas relações com a equação do movimento para obter o estado no instante \(t + \Delta t\). A restrição de estabilidade sobre o passo de tempo \(\Delta t\) é pouco severa, permitindo resolver eficientemente respostas estruturais dominadas por componentes de baixa frequência.

São utilizados os dois parâmetros de integração temporal seguintes.

Parâmetro Função
\(\beta\) Coeficiente relacionado com a interpolação temporal do deslocamento.
\(\gamma\) Coeficiente relacionado com a interpolação temporal da velocidade.

A combinação \(\beta = 1/4\) e \(\gamma = 1/2\) é denominada método da aceleração média e constitui uma escolha padrão que é incondicionalmente estável e não tem amortecimento numérico. Para introduzir amortecimento numérico, escolha \(\gamma\) superior a \(1/2\). Para detalhes matemáticos sobre combinações de parâmetros, estabilidade e características do erro, consulte o manual teórico.

Quando está presente não linearidade (não linearidade geométrica, não linearidade do material ou contacto), é efetuada uma iteração de Newton em cada passo de tempo; dentro da iteração, o sistema linear é resolvido e o estado é atualizado. Os critérios de convergência utilizam CONVERG e valores relacionados, partilhados com a análise estática. Na análise dinâmica com contacto, a mesma estrutura iterativa que em Iteração de contacto na análise estática é incorporada em cada passo de tempo.

O passo de tempo na análise dinâmica é controlado principalmente pelas condições temporais de !STEP. Com incrementos fixos, !STEP especifica DTIME como passo de tempo e ETIME como duração do passo. Os valores n_step e t_delta de !DYNAMIC são tratados como valores predefinidos quando !STEP é omitido e por motivos de retrocompatibilidade. No método implícito não linear, !STEP com INC_TYPE=AUTO ativa incrementos automáticos e cutback, aumentando ou reduzindo o passo de tempo consoante o estado das iterações de Newton e de contacto. Quer sejam utilizados incrementos fixos ou automáticos, defina o passo de tempo tendo em conta tanto a convergência como a precisão necessária.

Integração temporal na análise dinâmica (método explícito)

O método explícito para análise dinâmica utiliza o método das diferenças centrais para calcular o estado no instante seguinte diretamente apenas a partir das informações de deslocamento, velocidade e aceleração no instante anterior. Como não são resolvidas equações simultâneas, o custo computacional por passo é baixo. Mesmo quando existe não linearidade, cada passo de tempo é uma atualização de uma única etapa, sem iteração de Newton.

O passo de tempo tem um limite superior imposto por uma condição de estabilidade baseada no período natural mínimo do sistema (condição CFL). Um passo de tempo superior a esse limite faz divergir a solução numérica, pelo que não podem ser utilizados passos de tempo grandes como os permitidos pelo método implícito. O método explícito é vantajoso para fenómenos como impacto, propagação de ondas e contacto a alta velocidade, nos quais são intrinsecamente necessários passos de tempo pequenos.

Quando existe contacto, é utilizado o método Forward Increment Lagrange para impor as restrições de contacto. As forças de contacto são avaliadas de forma compatível com a atualização de etapa única do método explícito.

Método de solução da análise de resposta em frequência

A análise de resposta em frequência obtém diretamente a resposta periódica em regime estacionário no domínio da frequência através do método de sobreposição modal. Avalia a resposta variando a frequência de excitação e não necessita de percorrer um histórico temporal por meio de iterações. Não são efetuadas iterações não lineares nem integração temporal.

Antes de realizar uma análise de resposta em frequência, é necessário efetuar uma análise modal para o mesmo sistema e extrair o número necessário de modos naturais. São suportados apenas modelos lineares; a análise não pode ser efetuada quando a não linearidade geométrica ou do material está ativada. Para o enquadramento deste tipo de análise, consulte Tipos de análise.

Avanço temporal e iteração não linear na condução térmica transiente

A condução térmica transiente tem um ciclo temporal próprio, concluído dentro de !HEAT. O passo de tempo é controlado por um caminho separado de !STEP e !AUTOINC_PARAM da análise estrutural e, quando as propriedades do material dependem da temperatura, é efetuada uma iteração não linear em cada passo de tempo.

O esquema de integração temporal é selecionado com o parâmetro \(\beta\) de !HEAT.

\(\beta\) Esquema Características
0.5 Método de Crank-Nicolson Precisão de segunda ordem. Adequado para problemas com variações suaves de temperatura.
1.0 Método de Euler implícito Precisão de primeira ordem. Incondicionalmente estável e proporciona estabilidade em análises de longa duração e com variações bruscas de temperatura.

O passo de tempo é controlado de forma adaptativa combinando o passo de tempo inicial, o passo de tempo mínimo e a variação máxima de temperatura por passo. Se, após o cálculo num passo de tempo, a variação de temperatura exceder DELTMX, o passo de tempo é reduzido e o passo é recalculado. A análise é abortada se o passo de tempo ficar abaixo do passo de tempo mínimo DTMIN.

Quando as propriedades do material dependem da temperatura, é efetuada uma iteração não linear dentro de cada passo de tempo. A iteração é controlada da seguinte forma.

Função Parâmetro
Limite superior das iterações não lineares. !HEAT ITMAX
Critério de convergência. !HEAT EPS

A condução térmica estacionária não utiliza passos de tempo; apenas é efetuada iteração não linear quando as propriedades do material dependem da temperatura. Uma vez que o controlo temporal da análise de condução térmica é independente de !STEP da análise estrutural, verifique as definições de !HEAT ao ajustar o passo de tempo.

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