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Trabalho virtual das forças externas e montagem das equações globais

Em Discretização do trabalho virtual das forças internas, o membro esquerdo da forma fraca foi reduzido ao vetor de forças internas do elemento \(\boldsymbol{q}^e\) (método UL) ou \(\boldsymbol{Q}^e\) (método TL). Neste capítulo introduz-se o vetor de forças externas nodais do elemento \(\boldsymbol{F}^e\) a partir do trabalho virtual das forças externas e, através da operação de montagem, que reordena e acumula grandezas nodais dos elementos segundo a numeração global dos nós, chega-se finalmente ao sistema de equações não lineares em deslocamentos nodais que é resolvido pela análise estrutural não linear do FrontISTR.

Decomposição por elemento do trabalho virtual das forças externas

O membro direito do Princípio do trabalho virtual pode ser decomposto elemento a elemento como o trabalho virtual das forças externas constituído por forças volúmicas e trações superficiais prescritas nas fronteiras mecânicas. Para escrever em forma matricial a interpolação do deslocamento introduzida em Funções de forma e aproximação por elementos finitos, utiliza-se o bloco \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\), que coloca a função de forma \(N_\alpha^e\) do nó \(\alpha\) na diagonal, e \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), formado dispondo esses blocos horizontalmente, de modo que \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Substituindo esta expressão no trabalho virtual das forças externas escrito na configuração de referência, obtém-se

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

onde o vetor de forças externas nodais do elemento é disposto como \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Deste modo, o trabalho virtual das forças externas é reduzido à mesma forma «vetor nodal do elemento × função de teste» do lado das forças internas (quando escrito na configuração atual, obtém-se a mesma forma com as substituições \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) e \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Montagem das grandezas nodais dos elementos

As grandezas nodais \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) obtidas para cada elemento são acumuladas em vetores globais ordenados pela numeração global dos nós. Representando o número global do nó correspondente ao número local \(\alpha\) do elemento \(\Omega^e\) por

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

uma grandeza nodal do elemento coincide com a componente correspondente da grandeza nodal global (por exemplo, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Como, em geral, um nó \(i_g\) é partilhado por vários elementos, define-se o conjunto dos pares \((e, \alpha)\) cujo número global de nó é \(i_g\) por

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Utilizando este conjunto para reescrever a soma como \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), obtêm-se a força interna nodal e o vetor global de forças internas para todos os \(n_g\) nós:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Aqui, \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) corresponde à resultante das forças internas nodais dos elementos que atuam no nó \(i_g\) e é \(\boldsymbol{0}\) quando não atua qualquer força externa e o equilíbrio está satisfeito. No método UL, o mesmo procedimento fornece \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); como os respetivos valores satisfazem \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), utiliza-se abaixo a notação \(\boldsymbol{Q}\), exceto quando seja necessário distingui-los. O vetor global de forças externas \(\boldsymbol{F}\) é obtido pela mesma acumulação.

Na implementação, o conjunto \(\mathcal{E}(i_g)\) não é construído explicitamente; em vez disso, as contribuições são adicionadas às componentes correspondentes dentro do ciclo dos elementos.

Inicializar o vetor global de forças internas Q com 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (número de elementos)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

O vetor global de forças externas \(\boldsymbol{F}\) é construído pelo mesmo procedimento. Esta operação de adicionar e armazenar grandezas nodais dos elementos em vetores e matrizes numerados pela numeração global dos nós é designada montagem (assemble). Para tensores de segunda ordem associados a dois números de nó (como matrizes de rigidez), obtém-se o mesmo tipo de montagem utilizando o conjunto \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{e}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (consulte Matriz de rigidez tangente para a construção concreta).

Equações não lineares a resolver

Substituindo no Princípio do trabalho virtual os resultados da montagem das forças internas e externas, e utilizando o facto de a expressão ser válida para qualquer função de teste \(\delta\boldsymbol{u}^n\) que satisfaça as condições de fronteira geométricas, obtém-se

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

No contexto da análise incremental (Estrutura da análise incremental), repõe-se o índice temporal \(_{n+1}\) e omite-se o sobrescrito \(^n\) que indica o vetor nodal global. A equação a resolver é então

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Assim, o problema de valores de fronteira discretizado que procura o deslocamento nodal \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) no instante \(t_{n+1}\) reduz-se à resolução desta equação não linear em deslocamento, em conjunto com as condições de fronteira geométricas. A linearização da equação e a construção da matriz de rigidez tangente são descritas em Matriz de rigidez tangente, e o método de resolução iterativa em Método de Newton-Raphson.

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