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Lista de Símbolos das Grandezas Físicas

Esta página apresenta os símbolos das grandezas físicas utilizados no manual teórico do FrontISTR. Para as convenções de notação (notação a negrito para vetores e tensores, convenção de soma de Einstein e notação de Voigt), consulte Notação Tensorial e Fundamentos Matemáticos.

Configurações e Sistemas de Coordenadas

Símbolo Descrição
\(\boldsymbol{X}\) Vetor posição de um ponto material na configuração de referência (inicial) (coordenadas materiais)
\(\boldsymbol{x}\) Vetor posição de um ponto material na configuração atual (coordenadas espaciais)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Mapeamento do movimento: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Domínio ocupado pelo corpo na configuração de referência
\(\Omega\) Domínio ocupado pelo corpo na configuração atual
\(\Gamma_0\) Fronteira de \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Fronteira de \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Fronteira geométrica (deslocamento): fronteira na configuração atual/de referência em que é prescrito \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Fronteira mecânica: fronteira na configuração atual/de referência em que é prescrito \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ou \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Vetor normal unitário exterior a uma superfície na configuração atual
\(\boldsymbol{N}\) Vetor normal unitário exterior a uma superfície na configuração de referência
\(t\) Tempo

Convenção: As grandezas físicas na configuração de referência são indicadas por letras maiúsculas ou pelo índice inferior \(0\), enquanto as grandezas na configuração atual são indicadas por letras minúsculas.

Tempo e Incrementos (Análise Incremental)

Símbolo Descrição
\(\Delta t\) Incremento temporal: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Grandeza física no instante \(t\) (índice superior esquerdo). Exemplo: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) é a tensão de Cauchy no instante \(t\)
\(^{t}\Omega\) Domínio da configuração atual no instante \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Fronteira da configuração atual no instante \(t\)

Convenção: Na análise incremental, o estado até ao instante \(t\) é considerado conhecido, e o estado no instante \(t + \Delta t\) é resolvido como incógnita. O índice superior esquerdo é omitido quando não é necessário indicar explicitamente o tempo. Uma formulação que utiliza a configuração de referência \(\Omega_0\) como referência é denominada formulação Lagrangiana total, enquanto uma formulação que utiliza a configuração atual \(^{t}\Omega\) no início do incremento como referência é denominada formulação Lagrangiana atualizada.

Deslocamento, Velocidade, Aceleração e Força Volúmica

Símbolo Descrição
\(\boldsymbol{u}\) Vetor de deslocamento: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Deslocamento prescrito na fronteira geométrica \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Deslocamento virtual (função de teste): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) em \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vetor velocidade: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vetor aceleração: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Força volúmica (por unidade de massa)
\(\boldsymbol{t}\) Vetor de tração (por unidade de área): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Tração prescrita na fronteira mecânica \(\Gamma_t\) (dados de Neumann)

Operadores Diferenciais

Símbolo Descrição
\(\dot{(\cdot)}\) Derivada temporal material (derivada temporal seguindo o mesmo ponto material): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradiente na configuração de referência (gradiente em relação às coordenadas materiais \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradiente na configuração atual (gradiente em relação às coordenadas espaciais \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operador gradiente simétrico: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Nota: \(\nabla_X\) e \(\nabla_x\) estão relacionados por \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Um gradiente sem índice, \(\nabla\), é utilizado quando a configuração é clara pelo contexto ou quando a distinção desaparece, como em problemas de pequenas deformações.

Tensores de Deformação

Símbolo Descrição
\(\boldsymbol{F}\) Tensor gradiente de deformação: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Razão volumétrica: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Tensor de deformação de Cauchy-Green à direita: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Tensor de deformação de Cauchy-Green à esquerda: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensor gradiente de velocidade: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensor taxa de deformação (parte simétrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensor de rotação (parte antissimétrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensores de Deformação Específica

Símbolo Descrição
\(\boldsymbol{E}\) Tensor de deformação de Green-Lagrange (configuração de referência): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensor de deformação de Almansi (configuração atual): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Parte linear do tensor de deformação de Almansi (gradiente simétrico do deslocamento na configuração atual): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensor de deformação infinitesimal (aproximação linear): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Nota: \(\boldsymbol{E}\) é utilizado principalmente na formulação Lagrangiana total, enquanto \(\boldsymbol{D}\) é utilizado principalmente na formulação Lagrangiana atualizada.

Tensores de Tensão

Símbolo Descrição
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensor de tensão de Cauchy (tensão verdadeira, configuração atual): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Primeiro tensor de tensão de Piola-Kirchhoff (tensão nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Segundo tensor de tensão de Piola-Kirchhoff (configuração de referência, simétrico): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Relações de conversão entre os tensores de tensão:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Convenção: A formulação Lagrangiana total utiliza o par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), enquanto a formulação Lagrangiana atualizada utiliza o par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Densidade e Massa

Símbolo Descrição
\(\rho\) Densidade de massa na configuração atual
\(\rho_0\) Densidade de massa na configuração de referência

Conservação da massa: \(\rho_0 = J\rho\).

Constantes do Material (Elasticidade Linear)

Símbolo Descrição
\(E\) Módulo de Young
\(\nu\) Coeficiente de Poisson
\(\lambda\) Primeira constante de Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Segunda constante de Lamé (módulo de corte): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensor de elasticidade (quarta ordem): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componentes \(C_{ijkl}\)
\(D\) (ou \(\hat{\tilde{C}}\)) Matriz de material (notação de Voigt, \(6\times6\) em 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Componentes do tensor de elasticidade para um material elástico linear isotrópico:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Materiais Hiperelásticos

Símbolo Descrição
\(W(\boldsymbol{C})\) Função potencial elástico (função densidade de energia de deformação)
\(I_1, I_2, I_3\) Invariantes principais do tensor de Cauchy-Green à direita \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Invariantes reduzidos de \(\boldsymbol{C}\) (variação volumétrica separada)
\(C_1, C_2\) Constantes de material do modelo de Mooney-Rivlin
\(D\) Constante de material relacionada com a elasticidade volumétrica

Materiais Elastoplásticos

Símbolo Descrição
\(\boldsymbol{D}^e\) Componente elástica do tensor taxa de deformação
\(\boldsymbol{D}^p\) Componente plástica do tensor taxa de deformação
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Função de cedência
\(\kappa\) Variável interna que representa o estado plástico (variável de endurecimento isotrópico)
\(\lambda^p\) Multiplicador plástico (multiplicador da taxa de deformação plástica): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potencial plástico (\(\Theta = F\) para uma regra de escoamento associada)
\(\bar{\sigma}\) Tensão equivalente (por exemplo, tensão de von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Deformação plástica equivalente
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Função de endurecimento isotrópico

Condição de complementaridade: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Método dos Elementos Finitos

Símbolo Descrição
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Domínios nas configurações atual e de referência aproximados pela discretização por elementos finitos: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Domínio do elemento nas configurações atual e de referência
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Parte da fronteira do elemento pertencente à fronteira mecânica
\(\boldsymbol{r}\) Coordenadas naturais (coordenadas locais do elemento)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Ponto em coordenadas naturais correspondente ao nó \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Função de forma correspondente ao nó \(\alpha\) do elemento \(e\)
\(n_e\) Número de nós que constituem um elemento
\(n_g\) Número total de nós globais
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Coordenadas e deslocamento do nó \(\alpha\) do elemento
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vetores de coordenadas nodais e de deslocamentos do elemento: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Vetores globais de coordenadas nodais e de deslocamentos (ordenados por número de nó e depois por grau de liberdade)
\(\boldsymbol{B}\) Matriz da relação deformação-deslocamento (matriz B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matriz das funções de forma: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) é um bloco \(d \times d\) com a função de forma \(N_\alpha^e\) do nó \(\alpha\) na diagonal, e \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matriz de rigidez do elemento
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandos da matriz de rigidez do elemento (expressos nas configurações de referência e atual): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulação TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulação UL) Vetor de força interna do elemento
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Força externa nodal que atua no nó \(\alpha\) do elemento e vetor de forças externas nodais do elemento: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Vetor global de forças internas e vetor global de forças externas: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); de forma semelhante para \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Força interna nodal e força externa nodal no nó global \(i_g\) (blocos nodais de \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Matriz de rigidez tangente global: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriz formada colocando o bloco \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) na linha \(i_g\), coluna \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vetor residual na iteração de Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Correção na iteração de Newton-Raphson (obtida resolvendo a equação linear \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) na iteração \(i\))
\(i_g\) Número do nó global (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Número do nó global correspondente ao número de nó local \(\alpha\) do elemento \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Conjunto de pares \((e, \alpha)\) correspondentes ao número de nó global \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Utilizado nas operações de montagem
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Conjunto de tuplos \((e, \alpha, \beta)\) correspondentes ao par de números de nós globais \((i_g, i_h)\); utilizado na montagem da matriz de rigidez
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Índices dos nós que constituem um elemento
\(i, j, k, l, \ldots\) Índices dos graus de liberdade (\(1, 2, 3\) em 3D)

Elementos Avançados e Elementos Estruturais

Símbolo Descrição
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matriz da relação deformação-deslocamento com a parte volumétrica modificada pelo método B-bar (a componente volumétrica é substituída pela matriz B avaliada no centro do elemento)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradiente de deformação com a parte volumétrica modificada pelo método F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Razão volumétrica do gradiente de deformação avaliado no centro do elemento \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vetor de graus de liberdade internos de um elemento de modo incompatível (coeficientes de modos de deslocamento adicionais que não impõem continuidade na fronteira do elemento)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funções de forma dos modos incompatíveis: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Espessura do elemento de casca
\(A\) Área da secção transversal de um elemento de viga
\(I\) Segundo momento de área da secção transversal de um elemento de viga
\(G\) Módulo de corte: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

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