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Lista de símbolos de magnitudes físicas

Esta página enumera los símbolos de las magnitudes físicas utilizadas en el manual teórico de FrontISTR. Para las convenciones de notación (negrita para vectores y tensores, convenio de suma de Einstein y notación de Voigt), consulte Notación tensorial y fundamentos matemáticos.

Configuraciones y sistemas de coordenadas

Símbolo Descripción
\(\boldsymbol{X}\) Vector de posición de un punto material en la configuración de referencia (inicial) (coordenadas materiales)
\(\boldsymbol{x}\) Vector de posición de un punto material en la configuración actual (coordenadas espaciales)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Aplicación de movimiento: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Dominio ocupado por el cuerpo en la configuración de referencia
\(\Omega\) Dominio ocupado por el cuerpo en la configuración actual
\(\Gamma_0\) Contorno de \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Contorno de \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Contorno geométrico (de desplazamiento): contorno en la configuración actual/de referencia en el que \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) está prescrito
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Contorno mecánico: contorno en la configuración actual/de referencia en el que \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (o \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) está prescrito
\(\boldsymbol{n}\) Vector normal unitario exterior a una superficie en la configuración actual
\(\boldsymbol{N}\) Vector normal unitario exterior a una superficie en la configuración de referencia
\(t\) Tiempo

Convención: Las magnitudes físicas de la configuración de referencia se indican mediante letras mayúsculas o un subíndice \(0\), mientras que las magnitudes de la configuración actual se indican mediante letras minúsculas.

Tiempo e incrementos (análisis incremental)

Símbolo Descripción
\(\Delta t\) Incremento de tiempo: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Magnitud física en el instante \(t\) (superíndice izquierdo). Ejemplo: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) es la tensión de Cauchy en el instante \(t\)
\(^{t}\Omega\) Dominio de la configuración actual en el instante \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Contorno de la configuración actual en el instante \(t\)

Convención: En el análisis incremental, el estado hasta el instante \(t\) se considera conocido y el estado en \(t + \Delta t\) se resuelve como incógnita. El superíndice izquierdo se omite cuando no es necesario indicar explícitamente el tiempo. La formulación que utiliza la configuración de referencia \(\Omega_0\) como referencia se denomina formulación lagrangiana total, mientras que la formulación que utiliza como referencia la configuración actual \(^{t}\Omega\) al comienzo del incremento se denomina formulación lagrangiana actualizada.

Desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza de volumen

Símbolo Descripción
\(\boldsymbol{u}\) Vector de desplazamiento: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Desplazamiento prescrito en el contorno geométrico \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Desplazamiento virtual (función de prueba): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) en \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vector de velocidad: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vector de aceleración: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Fuerza de volumen (por unidad de masa)
\(\boldsymbol{t}\) Vector de tracción (por unidad de área): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Tracción prescrita en el contorno mecánico \(\Gamma_t\) (datos de Neumann)

Operadores diferenciales

Símbolo Descripción
\(\dot{(\cdot)}\) Derivada material respecto al tiempo (derivada temporal siguiendo el mismo punto material): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradiente en la configuración de referencia (gradiente respecto a las coordenadas materiales \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradiente en la configuración actual (gradiente respecto a las coordenadas espaciales \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operador gradiente simétrico: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Nota: \(\nabla_X\) y \(\nabla_x\) se relacionan mediante \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Se utiliza un gradiente sin subíndice, \(\nabla\), cuando la configuración queda clara por el contexto o cuando la distinción desaparece, como en los problemas de pequeñas deformaciones.

Tensores de deformación

Símbolo Descripción
\(\boldsymbol{F}\) Tensor gradiente de deformación: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Relación de volumen: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Tensor de deformación de Cauchy-Green derecho: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensor gradiente de velocidad: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensor de velocidad de deformación (parte simétrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensor de giro (parte antisimétrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensores de deformación unitaria

Símbolo Descripción
\(\boldsymbol{E}\) Tensor de deformación de Green-Lagrange (configuración de referencia): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensor de deformación de Almansi (configuración actual): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Parte lineal del tensor de deformación de Almansi (gradiente simétrico de desplazamiento en la configuración actual): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensor de deformación infinitesimal (aproximación lineal): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Nota: \(\boldsymbol{E}\) se utiliza principalmente en la formulación lagrangiana total, mientras que \(\boldsymbol{D}\) se utiliza principalmente en la formulación lagrangiana actualizada.

Tensores de tensión

Símbolo Descripción
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensor de tensiones de Cauchy (tensión verdadera, configuración actual): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff (tensión nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff (configuración de referencia, simétrico): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Relaciones de conversión entre los tensores de tensión:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Convención: La formulación lagrangiana total utiliza el par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mientras que la formulación lagrangiana actualizada utiliza el par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Densidad y masa

Símbolo Descripción
\(\rho\) Densidad de masa en la configuración actual
\(\rho_0\) Densidad de masa en la configuración de referencia

Conservación de la masa: \(\rho_0 = J\rho\).

Constantes de material (elasticidad lineal)

Símbolo Descripción
\(E\) Módulo de Young
\(\nu\) Coeficiente de Poisson
\(\lambda\) Primera constante de Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Segunda constante de Lamé (módulo de cortante): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensor de elasticidad (cuarto orden): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), componentes \(C_{ijkl}\)
\(D\) (o \(\hat{\tilde{C}}\)) Matriz de material (notación de Voigt, \(6\times6\) en 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Componentes del tensor de elasticidad para un material elástico lineal isótropo:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Materiales hiperelásticos

Símbolo Descripción
\(W(\boldsymbol{C})\) Función de potencial elástico (función de densidad de energía de deformación)
\(I_1, I_2, I_3\) Invariantes principales del tensor de Cauchy-Green derecho \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Invariantes reducidos de \(\boldsymbol{C}\) (cambio volumétrico separado)
\(C_1, C_2\) Constantes de material del modelo de Mooney-Rivlin
\(D\) Constante de material relacionada con la elasticidad volumétrica

Materiales elastoplásticos

Símbolo Descripción
\(\boldsymbol{D}^e\) Componente elástico del tensor de velocidad de deformación
\(\boldsymbol{D}^p\) Componente plástico del tensor de velocidad de deformación
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Función de fluencia
\(\kappa\) Variable interna que representa el estado plástico (variable de endurecimiento isótropo)
\(\lambda^p\) Multiplicador plástico (multiplicador de la velocidad de deformación plástica): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potencial plástico (\(\Theta = F\) para una regla de flujo asociada)
\(\bar{\sigma}\) Tensión equivalente (p. ej., tensión de von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Deformación plástica equivalente
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Función de endurecimiento isótropo

Condición de complementariedad: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Método de los elementos finitos

Símbolo Descripción
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Dominios en las configuraciones actual y de referencia aproximados mediante discretización por elementos finitos: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Dominio del elemento en las configuraciones actual y de referencia
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Parte del contorno del elemento que pertenece al contorno mecánico
\(\boldsymbol{r}\) Coordenadas naturales (coordenadas locales del elemento)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punto en coordenadas naturales correspondiente al nodo \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Función de forma correspondiente al nodo \(\alpha\) del elemento \(e\)
\(n_e\) Número de nodos que constituyen un elemento
\(n_g\) Número total de nodos globales
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Coordenadas y desplazamiento del nodo del elemento \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vectores de coordenadas y desplazamientos nodales del elemento: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Vectores globales de coordenadas y desplazamientos nodales (ordenados por número de nodo y después por grado de libertad)
\(\boldsymbol{B}\) Matriz de relación deformación-desplazamiento (matriz B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matriz de funciones de forma: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) es un bloque \(d \times d\) con la función de forma \(N_\alpha^e\) del nodo \(\alpha\) en su diagonal, y \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matriz de rigidez del elemento
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandos de la matriz de rigidez del elemento (expresados en las configuraciones de referencia y actual): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulación TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulación UL) Vector de fuerzas internas del elemento
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Fuerza externa nodal que actúa sobre el nodo del elemento \(\alpha\), y vector de fuerzas externas nodales del elemento: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Vector global de fuerzas internas y vector global de fuerzas externas: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); de forma análoga para \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Fuerza interna nodal y fuerza externa nodal en el nodo global \(i_g\) (bloques nodales de \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Matriz global de rigidez tangente: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriz formada colocando el bloque \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) en la fila \(i_g\), columna \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vector residual en la iteración de Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Corrección en la iteración de Newton-Raphson (obtenida resolviendo la ecuación lineal \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) en la iteración \(i\))
\(i_g\) Número de nodo global (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Número de nodo global correspondiente al número de nodo local \(\alpha\) del elemento \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Conjunto de pares \((e, \alpha)\) correspondientes al número de nodo global \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Utilizado en operaciones de ensamblaje
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Conjunto de tuplas \((e, \alpha, \beta)\) correspondientes al par de números de nodo global \((i_g, i_h)\); utilizado para el ensamblaje de la matriz de rigidez
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Índices de los nodos que constituyen un elemento
\(i, j, k, l, \ldots\) Índices de los grados de libertad (\(1, 2, 3\) en 3D)

Elementos avanzados y elementos estructurales

Símbolo Descripción
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matriz de relación deformación-desplazamiento cuya parte volumétrica se modifica mediante el método B-bar (el componente volumétrico se sustituye por la matriz B evaluada en el centro del elemento)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradiente de deformación cuya parte volumétrica se modifica mediante el método F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Relación de volumen del gradiente de deformación evaluado en el centro del elemento \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vector interno de grados de libertad para un elemento de modos incompatibles (coeficientes de modos de desplazamiento adicionales que no imponen continuidad en el contorno del elemento)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funciones de forma para modos incompatibles: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Espesor del elemento de cáscara
\(A\) Área de la sección transversal de un elemento de viga
\(I\) Segundo momento de área de la sección transversal de un elemento de viga
\(G\) Módulo de cortante: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

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