Análisis estático elástico lineal (Introducción)

Esta sección presenta la formulación del análisis estático elástico basada en la teoría de deformaciones infinitesimales. Para la relación tensión-deformación se supone elasticidad lineal. Este capítulo está concebido como una introducción para comprender la estructura general del análisis estructural por elementos finitos y se organiza como un capítulo autocontenido.

Para la teoría general del principio de los trabajos virtuales (formulación en la configuración actual, formulación en la configuración inicial y reducción a deformaciones infinitesimales), consulte Principio de los trabajos virtuales. Para obtener detalles sobre la ley constitutiva elástica lineal, consulte Elasticidad lineal; para las convenciones de notación tensorial y de Voigt, consulte Notación tensorial y fundamentos matemáticos; para la formulación general de deformaciones finitas, consulte Movimiento, deformación y deformación unitaria; y para los métodos de solución de problemas no lineales, consulte Matriz de rigidez tangente.

Ecuaciones básicas

Bajo las hipótesis de deformaciones infinitesimales y elasticidad lineal, el problema de contorno en mecánica de sólidos consta de la ecuación de equilibrio, las condiciones de contorno mecánicas y las condiciones de contorno geométricas (condiciones esenciales) (véase la Figura 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{en} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{en} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{en} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Aquí, \(\boldsymbol{\sigma}\) es la tensión de Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) es la fuerza de volumen por unidad de volumen, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) es la tracción superficial prescrita, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) es el desplazamiento prescrito y \(S_t, S_u\) son los contornos mecánico y geométrico.

Figura 2.1.1 Problema de contorno en mecánica de sólidos (problema de deformaciones infinitesimales)

Utilizando el operador gradiente simétrico, la relación deformación-desplazamiento es

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

La ecuación constitutiva elástica lineal es

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

donde \(\boldsymbol{C}\) es el tensor de elasticidad de cuarto orden.

Principio de los trabajos virtuales

Las formas generales del principio de los trabajos virtuales (formulación en la configuración actual, formulación en la configuración inicial y reducción a deformaciones infinitesimales) se resumen en Principio de los trabajos virtuales. Bajo las hipótesis de deformaciones infinitesimales y elasticidad lineal, la forma débil es

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{en} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Al sustituir la ecuación constitutiva \eqref{eq:2.1.5} y escribir \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) en notación de Voigt, se obtiene la forma utilizada directamente para la discretización:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

donde \(D\) es la matriz elástica definida en Elasticidad lineal. Las ecuaciones \eqref{eq:2.1.10} y \eqref{eq:2.1.7} constituyen el principio de los trabajos virtuales que se discretiza a continuación.

Discretización y ensamblaje de la ecuación global

Al discretizar el principio de los trabajos virtuales de la Ec.\( \eqref{eq:2.1.10} \) sobre los elementos finitos se obtiene

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Para cada elemento, el campo de desplazamientos se interpola utilizando los desplazamientos de los nodos que componen el elemento de la siguiente manera.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

La deformación se obtiene entonces utilizando la Ec.\(\eqref{eq:2.1.4}\) de la siguiente manera.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Al sustituir las Ecs.\(\eqref{eq:2.1.12}\) y \(\eqref{eq:2.1.13}\) en la Ec.\(\eqref{eq:2.1.11}\) se obtiene

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

La ecuación \(\eqref{eq:2.1.14}\) puede escribirse como

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Aquí, los componentes de la matriz y del vector definidos por las Ecs.\(\eqref{eq:2.1.16}\) y \(\eqref{eq:2.1.17}\) pueden calcularse para cada elemento finito y ensamblarse por superposición.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Como la Ec.\(\eqref{eq:2.1.15}\) se cumple para un desplazamiento virtual arbitrario \(\delta \boldsymbol{U}\), se obtiene la siguiente ecuación.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Por otra parte, la condición de contorno de desplazamiento de la Ec.\(\eqref{eq:2.1.3}\) se expresa de la siguiente manera.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Resolviendo la Ec.\(\eqref{eq:2.1.18}\) sujeta a la condición de restricción de la Ec.\(\eqref{eq:2.1.19}\), puede determinarse el desplazamiento nodal \(\boldsymbol{U}\).

Véase también