Analyse statique élastique linéaire (introduction)

Cette section présente la formulation de l’analyse statique élastique fondée sur la théorie des petites déformations. L’élasticité linéaire est supposée pour la relation contrainte-déformation. Ce chapitre constitue une introduction destinée à comprendre la structure générale de l’analyse structurale par éléments finis et est organisé de manière autonome.

Pour la théorie générale du principe des travaux virtuels (forme dans la configuration actuelle, forme dans la configuration initiale et réduction aux petites déformations), voir Principe des travaux virtuels. Pour les détails de la loi de comportement élastique linéaire, voir Élasticité linéaire ; pour les conventions de notation tensorielle et de Voigt, voir Notation tensorielle et bases mathématiques ; pour la formulation générale des déformations finies, voir Mouvement, déformation et déformation unitaire ; et pour les méthodes de résolution des problèmes non linéaires, voir Matrice de rigidité tangente.

Équations fondamentales

Sous les hypothèses de petites déformations et d’élasticité linéaire, le problème aux limites en mécanique des solides se compose de l’équation d’équilibre, des conditions aux limites mécaniques et des conditions aux limites géométriques (conditions aux limites essentielles) (voir Figure 2.1.1) :

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{dans} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{sur} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{sur} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Ici, \(\boldsymbol{\sigma}\) est la contrainte de Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) la force volumique par unité de volume, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) la traction surfacique imposée, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) le déplacement imposé, et \(S_t, S_u\) les frontières mécanique et géométrique.

Figure 2.1.1 Problème aux limites en mécanique des solides (problème de petites déformations)

En utilisant l’opérateur gradient symétrique, la relation déformation-déplacement s’écrit

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

La loi de comportement élastique linéaire s’écrit

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

où \(\boldsymbol{C}\) est le tenseur d’élasticité d’ordre quatre.

Principe des travaux virtuels

Les formes générales du principe des travaux virtuels (forme dans la configuration actuelle, forme dans la configuration initiale et réduction aux petites déformations) sont résumées dans Principe des travaux virtuels. Sous les hypothèses de petites déformations et d’élasticité linéaire, la forme faible est

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{sur} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

En substituant la loi de comportement \eqref{eq:2.1.5} et en écrivant \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) en notation de Voigt, on obtient la forme directement utilisée pour la discrétisation :

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

où \(D\) est la matrice élastique définie dans Élasticité linéaire. Les équations \eqref{eq:2.1.10} et \eqref{eq:2.1.7} constituent le principe des travaux virtuels discrétisé ci-dessous.

Discrétisation et assemblage de l’équation globale

La discrétisation du principe des travaux virtuels de l’équation \( \eqref{eq:2.1.10} \) sur les éléments finis donne

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Pour chaque élément, le champ de déplacement est interpolé à partir des déplacements des nœuds constituant l’élément comme suit.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

La déformation est alors donnée, à partir de l’équation \(\eqref{eq:2.1.4}\), comme suit.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

La substitution des équations \(\eqref{eq:2.1.12}\) et \(\eqref{eq:2.1.13}\) dans l’équation \(\eqref{eq:2.1.11}\) donne

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

L’équation \(\eqref{eq:2.1.14}\) peut s’écrire

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Ici, les composantes de la matrice et du vecteur définies par les équations \(\eqref{eq:2.1.16}\) et \(\eqref{eq:2.1.17}\) peuvent être calculées pour chaque élément fini puis assemblées par superposition.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Comme l’équation \(\eqref{eq:2.1.15}\) est vérifiée pour un déplacement virtuel arbitraire \(\delta \boldsymbol{U}\), on obtient l’équation suivante.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Par ailleurs, la condition aux limites en déplacement de l’équation \(\eqref{eq:2.1.3}\) s’écrit comme suit.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

En résolvant l’équation \(\eqref{eq:2.1.18}\) sous la contrainte de l’équation \(\eqref{eq:2.1.19}\), on peut déterminer le déplacement nodal \(\boldsymbol{U}\).

Voir aussi