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Élastoplasticité

Ce chapitre décrit le cadre de la loi constitutive élastoplastique adoptée par FrontISTR. Pour les détails concernant le choix et les spécifications d'entrée, voir 03_material dans la section des fonctions.

Phénomène (déformation plastique)

TBD (à rédiger lors de la prochaine phase).

Cadre de la loi constitutive

FrontISTR adopte une équation constitutive élastoplastique conforme à une règle d'écoulement associée. Cette équation constitutive exprime la relation entre le taux de Jaumann de la contrainte de Kirchhoff et le tenseur de vitesse de déformation, et l'analyse de déformation applique la formulation lagrangienne actualisée.

Supposons que la condition de plasticité d'un matériau élastoplastique soit donnée comme suit.

Condition de plasticité initiale :

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Condition de plasticité ultérieure :

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

où

  • \(F\) : fonction de charge
  • \(\sigma_{y_0}\) : contrainte d'écoulement initiale
  • \(\sigma_y\) : contrainte d'écoulement ultérieure
  • \(\sigma\) : tenseur des contraintes
  • \(e\) : tenseur des petites déformations
  • \(e^p\) : tenseur des déformations plastiques
  • \(\overline{e}^p\) : déformation plastique équivalente

On suppose que la relation contrainte d'écoulement–déformation plastique équivalente coïncide avec la relation contrainte–déformation plastique dans un état uniaxial.

Relation contrainte–déformation plastique dans un état uniaxial

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

où \(H'\) est le module d'écrouissage.

Relation contrainte équivalente–déformation plastique équivalente

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

En général, la fonction de charge ultérieure dépend de la température et du travail de déformation plastique ; pour simplifier, on suppose ici qu'elle dépend uniquement de la déformation plastique équivalente \(\overline{e}^p\). Pendant l'évolution de la déformation plastique, \(F = 0\) doit rester vérifiée ; l'équation suivante doit donc être satisfaite.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Ici, \(\dot{F}\) désigne la dérivée temporelle de \(F\). Dans la suite, la dérivée temporelle d'une grandeur \(A\) est notée \(\dot{A}\).

Supposons l'existence d'un potentiel plastique \(\Theta\) et exprimons la vitesse de déformation plastique par l'équation suivante.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

où \(\dot{\lambda}\) est un coefficient.

En supposant en outre que le potentiel plastique \(\Theta\) est égal à la fonction de charge \(F\), on adopte la règle d'écoulement associée suivante.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

En substituant cette expression dans la condition de cohérence, on obtient l'équation suivante.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

où \(D\) est la matrice d'élasticité, et

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

La relation contrainte–déformation élastoplastique peut s'écrire comme suit.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Lorsque la fonction de charge \(F\) du matériau élastoplastique est connue, cette expression permet d'obtenir sa loi constitutive.

Fonctions de charge

Les fonctions de charge élastoplastiques adoptées par FrontISTR sont énumérées ci-dessous.

Fonction de charge de Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Ici, \(J_2\) est le deuxième invariant du tenseur des contraintes déviatoriques.

Fonction de charge de Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Ici, \(\sigma_1, \sigma_3\) sont respectivement les contraintes principales maximale et minimale, \(c\) est la cohésion et \(\phi\) est l'angle de frottement interne.

Fonction de charge de Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Ici, les constantes de matériau \(\alpha\) et \(\sigma_y\) sont calculées à partir de la cohésion et de l'angle de frottement du matériau comme suit.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

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