Validation sur un modèle de forme simple

Analyse statique élastique

Cette validation utilise une poutre en porte-à-faux maillée comme indiqué à la figure 9.1.1. Des analyses ont été réalisées pour sept cas, de exA à exG, en faisant varier les conditions de chargement comme indiqué à la figure 9.1.2. Le cas exG utilise les mêmes conditions de chargement que exA, mais avec un solveur direct.

Les résultats de validation pour chaque condition de chargement sont présentés dans les tableaux 9.1.1 à 9.1.7.

Fig. 9.1.1 Exemple de maillage d’une poutre en porte-à-faux (éléments hexaédriques)

	(a) exA, G: Charge concentrée
	(b) exD: Pesanteur
	(c) exB: Charge répartie en surface
	(d) exE: Force centrifuge
	(e) exC: Charge volumique
	(f) exF : Charge thermique

Grandeur	Valeur
Module de Young	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
Longueur	\(L = 10.0\ mm\)
Coefficient de Poisson	\(\nu = 0.3\)
Aire de la section	\(A = 1.0\ mm^2\)
Masse volumique	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
Moment quadratique de la section	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
Accélération gravitationnelle	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
Coefficient de dilatation thermique linéaire	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tableau 9.1.2 Conditions de validation du modèle de poutre en porte-à-faux

Tableau 9.1.1 : exA : résultats de validation du problème de charge concentrée

Nom du cas	Nombre d’éléments		Valeur prédite : \(\delta_{max}= -1.000\)		Remarques
		NASTRAN	Logiciel commercial	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nœuds
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 nœuds
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nœuds
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nœuds
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nœuds
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nœuds
A731	40	-	-	-0.991	33 nœuds / méthode directe
A741	20	-	-	-0.996	33 nœuds / méthode directe

Tableau 9.1.2 : exB : résultats de validation du problème de charge répartie en surface

Nom du cas	Nombre d’éléments		Valeur prédite : \(\delta_{max}= -3.750\)		Remarques
		NASTRAN	Logiciel commercial	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 nœuds
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 nœuds
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 nœuds
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 nœuds
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 nœuds
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 nœuds
B731	40	-	-	-3.722	33 nœuds / méthode directe
B741	20	-	-	-3.743	33 nœuds / méthode directe

Tableau 9.1.3 : exC : résultats de validation du problème de charge volumique

Nom du cas	Nombre d’éléments		Valeur prédite : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Remarques
		NASTRAN	Logiciel commercial	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nœuds / problème de contrainte plane
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nœuds / problème de contrainte plane
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nœuds / problème de contrainte plane
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nœuds / problème de contrainte plane
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nœuds
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nœuds
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nœuds
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nœuds
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nœuds
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nœuds
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 nœuds / méthode directe
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 nœuds / méthode directe

Tableau 9.1.4 : exD : résultats de validation du problème de pesanteur

Nom du cas	Nombre d’éléments		Valeur prédite : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Remarques
		NASTRAN	Logiciel commercial	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 nœuds
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 nœuds
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 nœuds
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 nœuds
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 nœuds
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 nœuds
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 nœuds / méthode directe
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 nœuds / méthode directe

Tableau 9.1.5 : exE : résultats de validation du problème de force centrifuge

Nom du cas	Nombre d’éléments		Valeur prédite : \(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		Remarques
		NASTRAN	Logiciel commercial	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 nœuds
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 nœuds
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 nœuds
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 nœuds
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 nœuds
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 nœuds
E731	40	-	-	2.619e-3	33 nœuds / méthode directe
E741	20	-	-	2.622e-3	33 nœuds / méthode directe

Tableau 9.1.6 : exF : résultats de validation du problème de charge thermique

Nom du cas	Nombre d’éléments		Valeur prédite : \(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		Remarques
		NASTRAN	Logiciel commercial	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 nœuds
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 nœuds
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 nœuds
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 nœuds
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 nœuds
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 nœuds

Tableau 9.1.7 : exG : résultats de validation de la méthode directe (problème de charge concentrée)

Nom du cas	Nombre d’éléments		Valeur prédite: δmax= -1.000		Remarques
		NASTRAN	Logiciel commercial	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 nœuds
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	52 nœuds
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 nœuds
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 nœuds
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 nœuds
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 nœuds
G731	40	-	-	-0.991	33 nœuds / méthode directe
G741	20	-	-	-0.996	33 nœuds / méthode directe

Analyse statique non linéaire

(2-1) exnl1 : analyse non linéaire géométrique

Le modèle de validation du cas exI est identique aux modèles des cas exA à exG. La figure 9.1.3 présente un schéma du modèle de validation. Une analyse géométriquement non linéaire est effectuée sur ce modèle. Les résultats de validation sont présentés dans le tableau 9.1.8.

Le calcul non linéaire utilise 10 étapes de chargement avec un incrément de charge de 0.1P jusqu’à la charge finale de 1.0P.

Fig. 9.1.3 Modèle de validation

Tableau 9.1.8 exI : résultats de validation (historique de la flèche maximale)

Nom du cas	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Solution linéaire
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2 : analyse de déformation élastoplastique

Ce problème de validation est fondé sur le problème Test NL1 de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (Royaume-Uni), NAFEMS, et réalise une analyse de déformation élastoplastique intégrant la non-linéarité géométrique et plusieurs lois d’écrouissage. La figure 9.1.4 présente le modèle d’analyse.

Fig. 9.1.4 Modèle d’analyse de déformation élastoplastique

(1) Conditions de validation

Grandeur	Valeur
Matériau	Matériau élastoplastique de Mises
Module de Young	\(E = 250 GPa\)
Coefficient de Poisson	\(\nu=0.25\)
Contrainte d’écoulement initiale	\(5 MPa\)
Déformation d’écoulement initiale	\(0.25\times10^{-4}\)
Coefficient d’écrouissage isotrope	\(H_i = 0\) ou \(62.5 GPa\)

(2) Conditions aux limites

Grandeur	Condition aux limites	Valeur
Étape 1	Déplacement imposé aux nœuds 2 et 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Étape 2	Déplacement imposé aux nœuds 2 et 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Étape 3	Déplacement imposé aux nœuds 3 et 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Étape 4	Déplacement imposé aux nœuds 3 et 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Étape 5	Déplacement imposé aux nœuds 2 et 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Étape 6	Déplacement imposé aux nœuds 2 et 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Étape 7	Déplacement imposé aux nœuds 3 et 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Étape 8	Déplacement imposé aux nœuds 3 et 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Tous les nœuds non indiqués ici sont entièrement bloqués. La solution théorique de ce problème est la suivante.

Déformation (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Contrainte équivalente (\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

En comparaison, les résultats du calcul sont les suivants.

Déformation (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Contrainte équivalente (\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analyse de contact (1)

Ce problème de validation est fondé sur le problème de test de contact CGS-4 de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (Royaume-Uni), et vérifie la capacité de contact avec glissement fini et frottement. La figure 9.1.5 présente le modèle d’analyse.

Fig. 9.1.5 Modèle d’analyse de contact

La condition d’équilibre de ce problème est la suivante.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

Dans la phase de frottement avec adhérence, la force de frottement est [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] et, dans la phase de frottement avec glissement, elle vaut [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

La comparaison entre les résultats du calcul et la solution analytique est la suivante.

\(\mu\)	\(F/G\) Solution analytique	\(F/G\) Résultats du calcul
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Analyse de contact (2) : problème de contact de Hertz

Cette validation analyse le problème de contact de Hertz entre un cylindre infiniment long et un plan infini. Le rayon du cylindre est R=8mm, et le module de Young E ainsi que le coefficient de Poisson µ du corps déformable valent respectivement 1100Mpa et 0.0. La zone de contact est supposée suffisamment petite par rapport au rayon du cylindre et, compte tenu de la symétrie du problème, un modèle de quart de cylindre est analysé.

Fig. 9.1.6 Modèle d’analyse du problème de contact de Hertz

(1) Résultats de validation du rayon de contact

La formule théorique permettant de calculer le rayon de contact est la suivante :

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

où [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . Dans les conditions de calcul présentes, lorsque la pression est \(F=100\), le rayon de contact vaut \(a=1.36\).

La figure 9.1.7 montre les forces nodales équivalentes aux points de contact. Le rayon de contact est obtenu par extrapolation de cette distribution des forces nodales.

Fig. 9.1.7 Distribution des forces nodales équivalentes aux points de contact

(2) Résultats de validation de la contrainte de cisaillement maximale

Dans la solution théorique, à la position de contact [ z = 0.78a ] la contrainte de cisaillement maximale vaut [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . Dans les conditions de calcul présentes, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . En comparaison, le calcul donne [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Fig. 9.1.8 Distribution de la contrainte de cisaillement (valeur maximale = 15.6)

(3) Analyse modale

Les modèles de validation des cas exJ et exK sont identiques aux modèles des cas exA à exG. La figure 9.1.9 présente un schéma du modèle de validation. Une analyse modale est effectuée sur ce modèle. Les première à troisième valeurs propres sont calculées. Le cas exJ utilise un solveur itératif, tandis que le cas exK utilise un solveur direct. Les résultats de validation sont présentés dans les tableaux 9.1.9 à 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Modèle de validation

Les fréquences propres de la poutre en porte-à-faux sont obtenues à partir des équations suivantes.

Premier mode [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Deuxième mode [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Troisième mode [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Les valeurs des propriétés du modèle de validation sont

Grandeur	Valeur
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

Ainsi, les valeurs propres jusqu’au troisième mode sont les suivantes :

Numéro de mode	Valeur
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tableau 9.1.9 : exJ : résultats de validation de la méthode itérative pour la première valeur propre

Nom du cas	Nombre d’éléments	Valeur prédite : n1=3.609e3		Remarques
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nœuds
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nœuds
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nœuds
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nœuds
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nœuds
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nœuds

Tableau 9.1.10 : résultats de validation de la méthode itérative de exJ pour la deuxième valeur propre

Nom du cas	Nombre d’éléments	Valeur prédite : n2=2.262e4		Remarques
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nœuds
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nœuds
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nœuds
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nœuds
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nœuds
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nœuds

Remarque : dans les modèles tridimensionnels (3D), les première et deuxième valeurs ont des racines égales. La deuxième valeur du tableau représente donc la troisième valeur calculée.

Tableau 9.1.11 : résultats de validation de la méthode directe de exK pour la première valeur propre

Nom du cas	Nombre d’éléments	Valeur prédite : n1=3.609e3		Remarques
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 nœuds
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 nœuds
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 nœuds
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 nœuds
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 nœuds
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 nœuds
J731	40	-	3.606e3	220 nœuds
J741	20	-	3.594e3	220 nœuds

Tableau 9.1.12 : résultats de validation de la méthode directe de exK pour la deuxième valeur propre

Nom du cas	Nombre d’éléments	Valeur prédite : n2=2.262e4		Remarques
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 nœuds / problème en état de contrainte plane
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 nœuds / problème en état de contrainte plane
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 nœuds / problème en état de contrainte plane
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 nœuds
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 nœuds
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 nœuds
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 nœuds
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 nœuds
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 nœuds
J731	40	-	2.156e4	220 nœuds
J741	20	-	2.153e4	220 nœuds

Remarque : dans les modèles 3D, les première et deuxième valeurs ont des racines égales. La deuxième valeur du tableau représente donc la troisième valeur calculée.

(4) Analyse de conduction thermique

Les conditions communes des analyses de conduction thermique en régime stationnaire sont présentées à la figure 9.1.10. Les conditions propres aux cas de validation exM à exT sont présentées à la figure 9.1.11. Le découpage du maillage est équivalent à celui utilisé pour exA.

Les résultats de validation (tableau de distribution des températures) de chaque cas sont présentés dans les tableaux 9.1.13 à 9.1.20.

Longueur entre A et B	\(L = 10.0m\)
Aire de la section	\(A = 1.0 mm^2\)

Dépendance de la conductivité thermique à la température

Conductivité thermique \(\lambda(W/mK)\)	Température \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Fig. 9.1.10 : conditions de validation de l’analyse de conduction thermique stationnaire

exM: Matériau linéaire
exN: Problème de température imposée
exO: Problème de flux thermique concentré
exP: Problème de flux thermique réparti
exQ: Problème de transfert thermique convectif
exR: Problème de transfert thermique radiatif
exS: Problème de génération volumique de chaleur
exT: Problème de jeu interne

Fig. 9.1.11 : conditions d’analyse pour chaque cas de validation

Tableau 9.1.13 : résultats de validation de exM (calcul stationnaire d’un matériau linéaire)

Nom du cas	Type d’élément	Éléments/nœuds	Distance depuis l’extrémité A (m)
			Extrémité A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extrémité B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tableau 9.1.14 : résultats de validation de exN (problème de température imposée)

Nom du cas	Type d’élément	Éléments/nœuds	Distance depuis l’extrémité A (m)
			Extrémité A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extrémité B
Logiciel commercial	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tableau 9.1.15 : résultats de validation de exO (problème de flux thermique concentré)

Nom du cas	Type d’élément	Éléments/nœuds	Distance depuis l’extrémité A (m)
			Extrémité A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extrémité B
Logiciel commercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tableau 9.1.16 : résultats de validation de exP (problème de flux thermique réparti)

Nom du cas	Type d’élément	Éléments/nœuds	Distance depuis l’extrémité A (m)
			Extrémité A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extrémité B
Logiciel commercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tableau 9.1.17 : résultats de validation de exQ (problème de transfert thermique convectif)

Nom du cas	Type d’élément	Éléments/nœuds	Distance depuis l’extrémité A (m)
			Extrémité A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extrémité B
Logiciel commercial	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tableau 9.1.18 : résultats de validation de exR (problème de transfert thermique radiatif)

Nom du cas	Type d’élément	Éléments/nœuds	Distance depuis l’extrémité A (m)
			Extrémité A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extrémité B
Logiciel commercial	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tableau 9.1.19 : résultats de validation de exS (problème de génération volumique de chaleur)

Nom du cas	Type d’élément	Éléments/nœuds	Distance depuis l’extrémité A (m)
			Extrémité A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extrémité B
Logiciel commercial	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tableau 9.1.20 : résultats de validation de exT (problème de jeu interne)

Nom du cas	Type d’élément	Éléments/nœuds	Distance depuis l’extrémité A (m)
			Extrémité A	2.0	4.0	6.0	8,0	Extrémité B
Logiciel commercial	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

(5) Analyse dynamique linéaire

Dans exW, une analyse dynamique linéaire est effectuée sur la même poutre en porte-à-faux que dans l’élément (1). La figure 9.1.12 présente les conditions de validation. Pour un même découpage du maillage, l’effet de l’incrément de temps sur les résultats est vérifié. Des méthodes d’intégration temporelle implicite et explicite sont utilisées, avec les types d’éléments 361 et 342. Les résultats de validation sont présentés dans le tableau 9.1.22 et les figures 9.1.13 à 9.1.15.

Modèle d’analyse

Historique temporel de la force externe F

La solution théorique du déplacement au point d’excitation est la suivante :

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

où

\[ F_0:Vecteur\ constant \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Fig. 9.1.12 : conditions de validation de l’analyse dynamique linéaire

Conditions de validation :

Longueur	\(L\)	\(10.0\ mm\)
Largeur de la section	\(a\)	\(1.0\ mm\)
Hauteur de la section	\(b\)	\(1.0\ mm\)
Module de Young	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
Coefficient de Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Masse volumique	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
Accélération gravitationnelle	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Force externe	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)

Élément	Élément hexaédrique linéaire
Élément tétraédrique quadratique
Méthode de résolution	Méthode implicite
Paramètre de la méthode de Newmark-\(\beta\) \(\gamma\)	1/2
Paramètre \(\beta\) de la méthode de Newmark-\(\beta\)	1/4
Méthode explicite
Amortissement	Aucun

Tableau 9.1.21 : conditions de validation de l’analyse dynamique linéaire (suite)

Nom du cas	Type d’élément	Nb de nœuds	Nb d’éléments	Méthode de résolution	Incrément de temps \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Méthode implicite	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Méthode implicite	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Méthode implicite	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Méthode implicite	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Méthode implicite	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Méthode implicite	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Méthode explicite	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Méthode explicite	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Méthode explicite	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Méthode explicite	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Méthode explicite	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Méthode explicite	1.0E-07

Tableau 9.1.22 : résultats de validation de l’analyse dynamique linéaire de exW (porte-à-faux)

Nom du cas	Type d’élément	Nombre de nœuds	Nombre d’éléments	Méthode	Déplacement suivant z au temps t=0.002 sec [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Méthode implicite	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Méthode implicite	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Méthode implicite	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Méthode implicite	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Méthode implicite	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Méthode implicite	1.9753	Divergence
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Méthode explicite	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Méthode explicite	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Méthode explicite	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Méthode explicite	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Méthode explicite	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Méthode explicite	1.9753	Divergence

Fig. 9.1.13 : déformée et distribution de la contrainte équivalente de la poutre en porte-à-faux (W361_c0_im_m2_t2)

(a) Type d’élément 361 : méthode implicite

(b) Type d’élément 361 : méthode explicite

Fig. 9.1.14 Historique temporel du déplacement au point d’excitation \(u_z\)

(a) Type d’élément 342 : méthode implicite

(b) Type d’élément 342 : méthode explicite

Fig. 9.1.14 : historique temporel du déplacement au point de vibration \(u_z\)

Analyse de réponse en fréquence

Dans cette validation, une analyse de réponse en fréquence est effectuée sur une poutre en porte-à-faux et validée par comparaison avec les résultats d’un solveur commercial généraliste. Le modèle d’analyse et les conditions de validation sont présentés ci-dessous.

Conditions d’analyse :

Module de Young	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
Coefficient de Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
Masse volumique	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
Accélération gravitationnelle	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Charge	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
Paramètre d’amortissement de Rayleigh	\(R_m\)	\(0.0\)
Paramètre d’amortissement de Rayleigh	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Fig. 9.1.15 : modèle d’analyse (élément tétraédrique linéaire (126 éléments et 55 nœuds))

Les valeurs propres jusqu’au cinquième ordre et la réponse en fréquence des points de vibration obtenues par analyse modale sont les suivantes :

Mode	FrontISTR	Logiciel commercial
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Fig. 9.1.16 : dépendance en fréquence de l’amplitude du déplacement des points de vibration