Aller au contenu

Principe des travaux virtuels

À partir de l’équation d’équilibre et des conditions aux limites dérivées dans Contraintes et lois de conservation, on établit le principe des travaux virtuels, qui constitue la forme faible du problème aux limites de la mécanique des milieux continus. La discrétisation par éléments finis part de cette forme faible. Ce chapitre présente à la fois la forme dans la configuration actuelle (exprimée avec la contrainte de Cauchy et la partie linéaire de la déformation d’Almansi) et la forme dans la configuration de référence (exprimée avec le second tenseur de Piola-Kirchhoff et la déformation de Green-Lagrange), démontre leur équivalence, puis confirme la réduction aux petites déformations.

Équation d’équilibre et conditions aux limites

Soit \(\boldsymbol{g}\) la force volumique agissant sur le milieu continu par unité de masse, et considérons un corps occupant le domaine \(\Omega\) dans la configuration actuelle. La frontière \(\Gamma\) est décomposée en une frontière géométrique où le déplacement est imposé à \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), et une frontière mécanique où la traction est imposée à \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), avec \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) et \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Pour un problème statique, l’équation d’équilibre s’obtient en omettant le terme d’inertie de la loi de conservation de la quantité de mouvement présentée dans Contraintes et lois de conservation :

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{dans} \ \Omega \]

Les conditions aux limites sont

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{sur} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{sur} \ \Gamma_B \]

Dans la suite, le principe des travaux virtuels est établi comme forme faible de l’équation d’équilibre et de la condition aux limites mécanique \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). La condition aux limites géométrique \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) est prise en compte par le choix de la fonction test.

Forme faible dans la configuration actuelle

Dans la forme faible, on définit respectivement l’espace admissible du déplacement inconnu et l’espace des fonctions test par

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{sur} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{sur} \ \Gamma_B \} \]

Ici, \(d\) est la dimension spatiale, \(H^1(\Omega)\) l’espace de Sobolev des fonctions de carré intégrable ainsi que leurs dérivées faibles premières, et \(\delta\) désigne la variation. Dans la représentation en configuration actuelle, \(\Omega\) est la configuration déformée ; dans une résolution numérique effective, elle est ramenée à la configuration de référence ou à une configuration intermédiaire connue.

En multipliant l’équation d’équilibre par le poids \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) et en appliquant le théorème de la divergence de Gauss ainsi que la condition aux limites mécanique, on obtient le principe des travaux virtuels suivant dans la configuration actuelle.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Ici, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) est la partie linéaire du tenseur de déformation d’Almansi, définie par

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Sa variation est \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). On cherche donc \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tel que l’équation des travaux virtuels soit satisfaite pour tout \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Le membre de gauche est le travail virtuel des forces internes, tandis que le membre de droite est le travail virtuel des forces externes dues à la traction imposée et à la force volumique.

Comme cette équation est écrite sur le domaine déformé (configuration actuelle), une procédure de résolution effective choisit de nouveau la configuration initiale \(\Omega_0\) (configuration de référence) ou une configuration intermédiaire connue comme configuration de référence, réécrit l’équation sous forme incrémentale, puis la résout. Voir Cadre de l’analyse incrémentale pour le choix concret de la configuration de référence (Lagrange total / Lagrange actualisé) et la décomposition incrémentale.

Forme faible dans la configuration initiale

Considérons un corps occupant le domaine \(\Omega_0\) dans la configuration de référence, avec une frontière \(\Gamma_0\) décomposée en \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Le report de la représentation de la configuration actuelle vers la configuration de référence conduit au couple conjugué contrainte-déformation formé du second tenseur de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) et de la déformation de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Le principe des travaux virtuels dans la configuration initiale s’écrit alors

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Ici, \(\rho_0\) est la masse volumique dans la configuration de référence et, d’après la relation de conservation de la masse \(\rho_0 = J\rho\), cette expression est équivalente à la représentation de la force volumique dans la configuration actuelle.

Équivalence des représentations dans les configurations actuelle et initiale

Le travail virtuel des forces internes coïncide dans les deux représentations grâce à la transformation par le gradient de déformation \(\boldsymbol{F}\) et le rapport de volume \(J = \det \boldsymbol{F}\) ; c’est-à-dire,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Les termes de forces externes sont eux aussi équivalents par conservation de la masse et transformation de la traction. Ainsi, l’équation des travaux virtuels dans la configuration actuelle et celle dans la configuration initiale expriment le même principe dans des configurations différentes. Une méthode de résolution se référant à la configuration de référence correspond à la méthode lagrangienne totale, tandis qu’une méthode se référant à la configuration actuelle (la configuration convergée immédiatement précédente) correspond à la méthode lagrangienne actualisée.

Réduction aux petites déformations

Sous les hypothèses de petites déformations \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) et \(J \approx 1\), la distinction entre configuration actuelle et configuration de référence disparaît, le second tenseur de Piola-Kirchhoff coïncide avec la contrainte de Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), et la déformation de Green-Lagrange comme la partie linéaire de la déformation d’Almansi se réduisent à la déformation infinitésimale \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Le principe des travaux virtuels se réduit alors à la forme faible exprimée avec la contrainte de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) et la déformation infinitésimale \(\boldsymbol{\varepsilon}\) :

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{sur} \ \Gamma_B \]

Il s’agit de la forme faible utilisée directement pour la discrétisation dans l’analyse statique élastique linéaire en petites déformations (Analyse statique élastique linéaire (introduction et annexe) part de cette forme et montre la construction de la rigidité élémentaire \(\boldsymbol{K}^e\) par assemblage de l’équation globale \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

En substituant la loi de comportement élastique linéaire \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) et en écrivant \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) en notation de Voigt, la forme faible devient

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ce qui donne cette forme.

Rubriques associées