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Fonctions de forme des éléments solides 3D

Ce chapitre récapitule les systèmes de coordonnées naturelles et les formes explicites des fonctions de forme \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduites dans Fonctions de forme et approximation par éléments finis pour les éléments solides tridimensionnels utilisés par FrontISTR en analyse des milieux continus. Les six types d’éléments sont les tétraèdres du premier/deuxième ordre (341/342), les prismes triangulaires du premier/deuxième ordre (351/352) et les hexaèdres du premier/deuxième ordre (361/362). Pour l’ordre des nœuds et les numéros de face dans le format de maillage HEC-MW, voir la Bibliothèque d’éléments dans la référence des fonctions.

La procédure de construction de l’intégration élémentaire à partir de ces fonctions de forme et du déterminant du Jacobien suit Intégration numérique. Les formulations B-bar, F-bar et incompatibles pour 361, ainsi que les fonctions de forme des éléments de poutre et de coque, sont traitées dans Formulations avancées des éléments.

Systèmes de coordonnées naturelles et ordre interne des nœuds

Les fonctions de forme sont définies dans les coordonnées naturelles \(\boldsymbol{r}\) de chaque élément. Les éléments solides tridimensionnels utilisent les trois systèmes de coordonnées naturelles suivants selon la forme de l’élément.

  • Hexaèdres (361/362) : \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tétraèdres (341/342) : coordonnées volumiques \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), avec \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) et \(L_i \ge 0\). En prenant \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) comme variables indépendantes, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prismes triangulaires (351/352) : les coordonnées volumiques \((\xi, \eta)\) du triangle de base (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) sont combinées à la coordonnée axiale \(\zeta \in [-1, 1]\) pour former \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). La grandeur auxiliaire \(a = 1 - \xi - \eta\) est utilisée comme troisième coordonnée volumique sur la base.

Pour les éléments du premier ordre, la numérotation des nœuds de l’élément est identique dans le format d’entrée HEC-MW et dans le format interne. Pour les éléments du deuxième ordre, les conventions d’ordre des nœuds intermédiaires diffèrent. FrontISTR accepte le format HEC-MW en entrée (les nœuds de sommet sont énumérés autour de l’élément, puis les nœuds intermédiaires suivant l’ordre des arêtes 1-2, 2-3, …), tandis que les fonctions de forme de la bibliothèque d’éléments sont implémentées en supposant un autre ordre des nœuds.

La différence entre les deux formats est résolue par hecmw2fstr_mesh_conv, appelé immédiatement après la lecture du maillage, qui réordonne les nœuds de chaque élément. Parmi les éléments solides tridimensionnels, les deux types suivants sont convertis.

Type d’élément Table de conversion Description
342 (tétraèdre du deuxième ordre) Table342 Réordonne les 10 nœuds en \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prisme triangulaire du deuxième ordre) Table352 Réordonne les 15 nœuds en \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Comme le réordonnancement est effectué directement dans le tableau qui stocke la connectivité des éléments, tous les appels ultérieurs à la bibliothèque d’éléments utilisent l’ordre interne des nœuds de FrontISTR. Pour l’élément hexaédrique du deuxième ordre 362, aucune table de conversion n’existe, car l’ordre des nœuds intermédiaires est identique dans l’entrée HEC-MW et dans le format interne de FrontISTR. Lors de la sortie des résultats, la conversion inverse fstr2hecmw_mesh_conv restaure l’ordre des nœuds HEC-MW avant l’écriture ; l’utilisateur n’a donc à connaître que le format HEC-MW pour l’entrée comme pour la sortie. Les numéros de nœuds utilisés dans les fonctions de forme ci-dessous correspondent au format interne de FrontISTR après conversion.

Fonctions de forme des éléments du premier ordre

Pour l’élément tétraédrique du premier ordre (341), les fonctions de forme sont les coordonnées volumiques elles-mêmes :

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Pour l’élément prismatique triangulaire du premier ordre (351), les fonctions de forme sont les produits des fonctions de forme linéaires du triangle de base (\(a, \xi, \eta\)) et des fonctions de forme linéaires selon l’axe (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) :

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Pour l’élément hexaédrique du premier ordre (361), les fonctions de forme sont des produits tensoriels de fonctions de forme linéaires dans les trois directions de coordonnées :

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Ici, \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) sont les valeurs des coordonnées naturelles du nœud \(\alpha\) (chaque composante vaut \(\pm 1\)).

Fonctions de forme des éléments du deuxième ordre

Pour l’élément tétraédrique du deuxième ordre (342), les fonctions de forme se répartissent entre quatre nœuds de sommet et six nœuds intermédiaires :

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Les nœuds intermédiaires 5 à 10 correspondent respectivement aux milieux des arêtes 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 et 3-4.

L’élément prismatique triangulaire du deuxième ordre (352) est constitué de six nœuds de sommet, de six nœuds intermédiaires sur les faces triangulaires et de trois nœuds intermédiaires sur les arêtes axiales :

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Les nœuds intermédiaires 7 à 9 correspondent aux milieux des arêtes du triangle inférieur (\(\zeta = -1\)), les nœuds 10 à 12 à ceux du triangle supérieur (\(\zeta = +1\)), et les nœuds 13 à 15 aux milieux des arêtes axiales.

L’élément hexaédrique du deuxième ordre (362) est un élément à 20 nœuds de la famille Serendipity. Soient \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) les valeurs des coordonnées naturelles du nœud \(\alpha\). Pour les nœuds de sommet (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), chaque composante valant \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Pour les nœuds intermédiaires (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), l’une des trois coordonnées naturelles valant \(0\) et les deux autres \(\pm 1\)), les nœuds tels que \(\xi_\alpha = 0\) (arêtes orientées suivant la direction \(\xi\)) ont

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Pour les nœuds intermédiaires dont l’arête est orientée selon l’axe \(\eta\) ou \(\zeta\), l’expression s’obtient de manière analogue en éliminant la coordonnée naturelle correspondante par le terme au carré.

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