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Hyperélasticité

Ce chapitre présente les lois de comportement hyperélastiques prises en charge par FrontISTR. Pour plus de détails sur le choix du modèle et les spécifications d’entrée, voir la section fonctionnelle 03_material.

Phénomène (réponse réversible en grandes déformations)

TBD (à développer en texte complet lors de la prochaine phase).

Cadre constitutif

Pour un matériau hyperélastique isotrope, l’énergie potentielle élastique est obtenue à partir d’une réponse isotrope depuis l’état initial non contraint et peut être exprimée comme une fonction des invariants principaux \((I_1, I_2, I_3)\) du tenseur de déformation de Cauchy-Green droit \(C\), ou des invariants principaux \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) du tenseur de déformation dont la variation volumique a été éliminée, c’est-à-dire sous la forme \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) ou \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

L’équation constitutive d’un matériau hyperélastique est définie par la relation entre le second tenseur de Piola-Kirchhoff et la déformation de Green-Lagrange, et la méthode de Lagrange totale est appliquée à l’analyse de sa déformation.

Une fois l’énergie potentielle élastique \(W\) connue, le second tenseur de Piola-Kirchhoff et la relation contrainte-déformation peuvent être calculés comme suit.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Les énergies potentielles élastiques \(W\) des modèles hyperélastiques adoptés par FrontISTR sont données ci-dessous.

Modèle hyperélastique néo-hookéen

Le modèle hyperélastique néo-hookéen étend une loi linéaire isotrope (loi de Hooke) afin de pouvoir l’appliquer aux problèmes de grandes déformations. Son potentiel élastique est le suivant.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Ici, \(C_{10}\) et \(D\) sont des constantes du matériau.

Modèle hyperélastique de Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Ici, \(C_{10}\), \(C_{01}\) et \(D\) sont des constantes du matériau.

Modèle hyperélastique anisotrope de Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Ici, \(C_{10}\), \(C_{01}\) et \(D\) sont des constantes du matériau communes au modèle isotrope, tandis que \(C_{42}\) et \(C_{43}\) sont des constantes du matériau propres à l’anisotropie.

Modèle hyperélastique d’Arruda-Boyce

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Ici, \(\mu_0\), \(\lambda_m\) et \(D\) sont des constantes du matériau.

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