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Discrétisation du travail virtuel interne

L'équation des travaux virtuels au temps \(t + \Delta t\) présentée dans Cadre de l'analyse incrémentale prend deux formes, les formulations lagrangienne actualisée et lagrangienne totale, selon le choix de la configuration de référence. Dans ce chapitre, l'approximation par éléments finis introduite dans Fonctions de forme et approximation par éléments finis et Dérivées spatiales des fonctions de forme est utilisée pour discrétiser spatialement le travail virtuel interne des deux formulations et obtenir les vecteurs élémentaires de forces internes \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) et \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Pour l'élément \(e\), notons ses nœuds constitutifs \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ; les déplacements \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), et organisons le vecteur des déplacements nodaux de l'élément sous la forme \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Le déplacement virtuel \(\delta \boldsymbol{u}^e\) est défini dans le même ordre. Le déplacement à l'intérieur de l'élément est interpolé par les fonctions de forme selon \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Travail virtuel interne dans la formulation lagrangienne actualisée

Dans la formulation lagrangienne actualisée, au temps \(t\), la configuration actuelle \({}^{t}\Omega\) est utilisée comme configuration de référence, et le travail virtuel interne est écrit à l'aide de la contrainte de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) et de la partie linéaire de la déformation d'Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) sous la forme

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Chaque composante de \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) peut être exprimée, à l'aide des coordonnées de la configuration actuelle \(\boldsymbol{x}\), comme une combinaison linéaire des dérivées des fonctions de forme \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) et des déplacements virtuels nodaux \(\delta u^e_{i\alpha}\). En notation de Voigt, cela peut être regroupé sous la forme

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Le bloc nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) est formé en disposant \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) selon la convention de Voigt dans une matrice \(6 \times 3\), et \(\boldsymbol{B}_L\) est la matrice déformation-déplacement de la formulation UL. En substituant cette expression dans le travail virtuel interne et en mettant \(\delta \boldsymbol{u}^e\) en facteur, on obtient

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Pour \(\boldsymbol{q}^e\), le bloc nodal \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) est la force interne de l'élément \(\Omega^e\) agissant sur le nœud constitutif \(\alpha\).

Travail virtuel interne dans la formulation lagrangienne totale

Dans la formulation lagrangienne totale, la configuration initiale \(\Omega_0\) est utilisée comme configuration de référence, et le travail virtuel interne est écrit à l'aide de la seconde contrainte de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) et de la déformation de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) sous la forme

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

La variation \(\delta \boldsymbol{E}\) est séparée en un terme linéaire par rapport au déplacement virtuel et un terme non linéaire contenant des produits avec le gradient du déplacement actuel \(\partial u_k/\partial X_j\) :

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Le terme linéaire peut être écrit en appliquant à \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) la même règle de disposition que dans la formulation UL, ce qui donne le bloc nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) :

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Seules les dérivées constitutives passent de \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) à \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) en raison de la différence de configuration de référence ; le même symbole que dans la formulation UL est utilisé. Le terme non linéaire utilise les produits du gradient du déplacement actuel \(\partial u_k/\partial X_j\) et de \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), disposés selon la convention de Voigt pour former le bloc nodal \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) :

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Ainsi, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), et \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) est la matrice déformation-déplacement de la formulation TL. En substituant cette expression dans le travail virtuel interne, on obtient

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Le bloc nodal \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) est la force interne de l'élément \(\Omega^e_0\) agissant sur le nœud constitutif \(\alpha\).

Correspondance entre UL/TL et déroulement du calcul

Les vecteurs élémentaires de forces internes des formulations lagrangienne actualisée et lagrangienne totale correspondent comme suit.

Élément Formulation lagrangienne actualisée Formulation lagrangienne totale
Configuration de référence Configuration actuelle \({}^{t}\Omega^e\) Configuration initiale \(\Omega^e_0\)
Tenseur des contraintes Contrainte de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Seconde contrainte PK \(\boldsymbol{S}\)
Variation de déformation \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matrice B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Force interne élémentaire \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Les deux formulations sont traitées selon la même procédure : construire \(\boldsymbol{B}_L\) à partir des dérivées spatiales des fonctions de forme ; dans la formulation TL, construire et ajouter \(\boldsymbol{B}_{NL}\) à partir du gradient du déplacement actuel ; mettre à jour la contrainte (\(\boldsymbol{\sigma}\) ou \(\boldsymbol{S}\)) selon la loi de comportement ; puis intégrer numériquement \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ou \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) sur le domaine de l'élément aux points d'intégration (Intégration numérique). À l'exception du changement de configuration de référence (coordonnées nodales et construction de la matrice \(\boldsymbol{B}\)) et du remplacement du tenseur des contraintes, le traitement est commun ; FrontISTR implémente donc les calculs de forces internes des deux formulations au moyen de sous-programmes communs. L'assemblage des vecteurs élémentaires de forces internes \(\boldsymbol{q}^e\) et \(\boldsymbol{Q}^e\) dans le vecteur global des forces internes est traité dans Travail virtuel externe et assemblage des équations globales.

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