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내부 가상 일의 이산화

증분 해석의 틀에서 제시한 시각 \(t + \Delta t\)의 가상 일 방정식은 기준 배치의 선택에 따라 Updated Lagrange 형식과 Total Lagrange 형식의 두 형태를 취합니다. 이 장에서는 형상 함수와 유한요소 근사 및 형상 함수의 공간 미분에서 도입한 유한요소 근사를 사용하여 두 형식의 내부 가상 일을 공간적으로 이산화하고, 요소 내력 벡터 \(\boldsymbol{q}^e\) (UL)와 \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL)를 구합니다.

요소 \(e\)에 대해 구성 절점을 \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), 변위를 \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\)라 하고, 요소 절점 변위 벡터를 \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)의 순서로 배열합니다. 가상 변위 \(\delta \boldsymbol{u}^e\)도 같은 순서로 정의합니다. 요소 내부의 변위는 형상 함수에 의해 \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\)로 보간됩니다.

Updated Lagrange 형식의 내부 가상 일

Updated Lagrange 형식에서는 시각 \(t\)의 현재 배치 \({}^{t}\Omega\)를 기준 배치로 사용하고, 내부 가상 일을 Cauchy 응력 \(\boldsymbol{\sigma}\)와 Almansi 변형률의 선형부 \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)를 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)의 각 성분은 현재 배치 좌표 \(\boldsymbol{x}\)를 사용하여 형상 함수 미분 \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)와 절점 가상 변위 \(\delta u^e_{i\alpha}\)의 선형 결합으로 나타낼 수 있습니다. 이를 Voigt 표기로 정리하면 다음과 같습니다.

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

절점 블록 \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\)는 \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)를 Voigt 규약에 따라 \(6 \times 3\) 행렬로 배열하여 구성하며, \(\boldsymbol{B}_L\)은 UL 형식의 변형률-변위 행렬입니다. 이를 내부 가상 일에 대입하고 \(\delta \boldsymbol{u}^e\)를 묶어내면 다음과 같습니다.

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

\(\boldsymbol{q}^e\)에서 절점 블록 \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)는 요소 \(\Omega^e\)가 구성 절점 \(\alpha\)에 작용시키는 내력입니다.

Total Lagrange 형식의 내부 가상 일

Total Lagrange 형식에서는 초기 배치 \(\Omega_0\)를 기준 배치로 사용하고, 내부 가상 일을 제2 Piola-Kirchhoff 응력 \(\boldsymbol{S}\)와 Green-Lagrange 변형률 \(\boldsymbol{E}\)를 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

변분 \(\delta \boldsymbol{E}\)는 가상 변위에 선형인 항과 현재 변위 구배 \(\partial u_k/\partial X_j\)와의 곱을 포함하는 비선형 항으로 분리됩니다.

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

선형항은 UL 형식과 동일한 배열 규칙을 \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)에 적용하여 절점 블록 \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\)로 나타낼 수 있습니다.

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

기준 배치가 다르기 때문에 구성 미분만 \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)에서 \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)로 바뀌며, 기호는 UL 형식과 동일하게 사용합니다. 비선형항은 현재 변위 구배 \(\partial u_k/\partial X_j\)와 \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)의 곱을 사용하고, 이를 Voigt 규약에 따라 배열하여 절점 블록 \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\)를 구성합니다.

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

따라서 \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\)이며, \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)은 TL 형식의 변형률-변위 행렬입니다. 이를 내부 가상 일에 대입하면 다음과 같습니다.

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

절점 블록 \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\)는 요소 \(\Omega^e_0\)가 구성 절점 \(\alpha\)에 작용시키는 내력입니다.

UL/TL의 대응 관계와 계산 흐름

Updated Lagrange 형식과 Total Lagrange 형식의 요소 내력 벡터는 다음과 같이 대응합니다.

항목 Updated Lagrange 형식 Total Lagrange 형식
기준 배치 현재 배치 \({}^{t}\Omega^e\) 초기 배치 \(\Omega^e_0\)
응력 텐서 Cauchy 응력 \(\boldsymbol{\sigma}\) 제2 PK 응력 \(\boldsymbol{S}\)
변형률 변분 \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B 행렬 \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
요소 내력 \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

두 형식 모두 형상 함수의 공간 미분으로부터 \(\boldsymbol{B}_L\)을 구성하고, TL 형식에서는 현재 변위 구배로부터 \(\boldsymbol{B}_{NL}\)을 구성하여 더한 뒤, 구성 법칙에 따라 응력(\(\boldsymbol{\sigma}\) 또는 \(\boldsymbol{S}\))을 갱신하고, 적분점에서 요소 영역에 걸쳐 \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) 또는 \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\)를 수치 적분(수치 적분)하는 동일한 절차로 처리됩니다. 기준 배치(절점 좌표와 \(\boldsymbol{B}\) 행렬의 구성)의 전환과 응력 텐서의 교체를 제외하면 처리가 공통이므로, FrontISTR에서는 두 형식의 내력 계산을 공통 서브루틴으로 구현합니다. 요소 내력 벡터 \(\boldsymbol{q}^e\)와 \(\boldsymbol{Q}^e\)를 전역 내력 벡터로 조립하는 과정은 외부 가상 일과 전역 방정식의 조립에서 다룹니다.

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