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수치 적분

내력 가상일의 이산화 및 외력 가상일과 전체 방정식의 조립에서 얻은 요소 내력 벡터 \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\)와 요소 강성 행렬 \(\boldsymbol{K}^e\)는 요소 영역 \(\Omega^e\) 또는 \(\Omega^e_0\) 위의 적분 형태를 취한다. FrontISTR에서는 이를 Gauss 적분 공식으로 수치적으로 평가한다.

Gauss 적분 공식과 변수 변환

Gauss 적분 공식은 표준 영역 \(\Xi\) 위의 적분을 적분점 \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\)에서의 피적분함수값과 가중치 \(w_i\)의 선형합으로 근사한다. 요소 영역 \(\Omega^e\)에 적용할 때에는 사상 \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\)에 의한 변수 변환이 수반되며,

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

로 쓸 수 있다. \(n_q\)는 적분점 수, \(J_{\xi_i}\)는 변환 Jacobian 행렬식이다. 표준 영역 \(\Xi\)는 요소 종류마다 정해지며(육면체는 \([-1,1]^3\), 삼각형·사면체·쐐기형은 각각의 기준 형상), 적분점 \(\boldsymbol{\xi}_i\)와 가중치 \(w_i\)는 수치표로 주어진다. 면적분도 요소 면을 2차원 표준 영역에서 사상함으로써 같은 형식으로 취급한다.

FrontISTR가 채택하는 대표적인 적분점 수를 아래에 나타낸다(요소형과의 대응은 요소 번호 체계와 형상함수 라이브러리를 참조).

요소 유형 적분 공식 적분점 수
4절점 사면체(tet4n) 1점 공식 1
10절점 사면체(tet10n) 4점 공식 4
6절점 삼각기둥(prism6n) 2점 공식 2
15절점 삼각기둥(prism15n) 9점 공식 9
8절점 육면체(hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20절점 육면체(hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4절점 사각형(quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8절점 사각형(quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3절점 삼각형(tri3n) 1점 공식 1
6절점 삼각형(tri6n) 3점 공식 3

육면체·사각형·선분 요소에서는 각 축 방향 Gauss-Legendre 공식의 텐서곱을 취한다. 삼각형·사면체·삼각기둥은 단체 형상에 적합한 전용 공식(삼각형 자체 위에서 다항식을 정확히 적분하는 점 배치)을 사용한다.

요소 적분에의 적용

요소 적분에서는 자연좌표 \(\boldsymbol{r}\)을 표준 영역의 좌표로 하고(\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), 물리좌표로의 사상은 형상함수에 의한 절점 좌표 보간으로 주어진다. 참조 배치의 선택(증분 해석의 틀)에 따라 다음과 같이 구분하여 사용한다.

Total Lagrange 법(기준 배치 \(\Omega^e_0\)에서 적분): 사상과 Jacobian을

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

로 하고 요소 내력·강성 행렬을

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

로 근사한다. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\)는 모두 적분점 \(\boldsymbol{r}_i\)에서 평가한다.

Updated Lagrange 법(현재 배치 \(\Omega^e\)에서 적분): 사상과 Jacobian을

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

로 하고,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

로 근사한다.

두 정식화의 차이는 사상 입력의 절점 좌표가 \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\)인지 \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)인지라는 한 가지 점뿐이며, 적분점·가중치·적분점 루프의 구조는 공통이다.

완전 적분과 차수 저감 적분

피적분함수의 다항식 차수를 정확히 적분할 수 있는 적분점 수를 채택하는 적분을 완전 적분, 그보다 한 단계 적은 적분점 수를 채택하는 적분을 차수 저감 적분이라고 한다. 차수 저감 적분은 전단·체적 locking 완화에 사용되지만 hourglass 모드와 같은 거짓 변형 모드에 대한 대처가 수반된다. 요소 종류별 적분점 수와 완전/차수 저감의 선택은 요소 번호 체계와 형상함수 라이브러리 이후 및 고성능 요소 정식화에서 다룬다.

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