콘텐츠로 이동

형상함수와 유한요소 근사

가상일의 원리의 약형을 계산기로 다루기 위해 물체 영역을 유한개의 요소로 분할하고, 요소 내부의 물질점 좌표·변위·시험함수를 절점값과 형상함수로 보간한다. 형상함수의 공간 미분은 형상함수의 공간 미분, 약형의 이산화는 내력 가상일의 이산화, 요소 종류별 형상함수의 구체적인 형태는 요소 번호 체계와 형상함수 라이브러리 이후에서 다룬다.

영역 분할과 적분의 요소별 합

기준 배치의 영역 \(\Omega_0\) 및 현재 배치의 영역 \(\Omega\)를 각각 요소 \(\Omega^e_0\), \(\Omega^e\)의 합집합으로 근사한다:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\)는 요소 번호이며, 요소 경계는 인접 요소 사이에서 공유된다). 이에 따라 가상일의 원리의 체적·면적 적분은 요소별 적분의 합으로 분해된다:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(현재 배치에 대해서도 \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)로 치환하면 동일하다). 이후 약형의 평가는 요소 단위 적분의 구성으로 귀착된다.

절점값과 형상함수에 의한 보간(아이소파라메트릭 요소)

각 요소 \(\Omega^e_0\)에는 \(n_e\)개의 절점이 할당된다. 요소 절점 \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)의 기준 배치 좌표와 절점 변위를 \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)라 하고, 이들을 배열한 요소 절점 벡터 \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)는 전체 절점 벡터 \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)(\(n_g\)는 전체 절점 수)에서 요소 \(e\)를 구성하는 절점의 성분만 추출한 것이다.

요소 내부의 로컬 좌표인 자연좌표 \(\boldsymbol{r}\)를 매개변수로 하는 형상함수 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)에 의해 요소 내부의 물질좌표·변위·시험함수를 공통 형상함수로 보간한다(아이소파라메트릭 요소·Galerkin 법):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

형상함수는 다음 두 성질을 만족하도록 구성하고, 자연좌표에서 물질좌표로의 사상 \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\)가 요소 내부에서 일대일이 되도록 요소 형상을 선택한다:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\)는 절점 \(\alpha\)에 대응하는 자연좌표의 점이고, \(\delta_{\alpha\beta}\)는 Kronecker 델타이다). 첫 번째 식은 강체 병진의 재현성을, 두 번째 식은 보간값이 절점에서 절점값과 일치함을 보장한다. 요소 종류별 \(n_e\), \(N_\alpha^e\)의 구체적인 형태는 요소 번호 체계와 형상함수 라이브러리 이후에서 제시한다. 표기의 번잡함을 피하기 위해 요소 종류에 대한 의존성은 요소별 위첨자 \(e\)로 대표한다.

위의 보간 규칙에 따라 약형의 피적분함수는 요소 절점값 \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\)와 \(N_\alpha^e\)만으로 표현할 수 있다. 한편 변형률은 보간된 변위와 변형률-변위 관계로부터, 응력은 그 변형률과 재료 구성법칙으로부터 유도되는 양이며 절점값에서 직접 보간되는 것이 아니다. 이들은 요소 내부의 적분점에서 평가된다(수치 적분).

전체 절점 벡터의 배열 규칙

절점에 할당되는 물리량은 전체 절점 벡터에서 절점 번호 → 자유도 순으로 오름차순 배열한다. 절점 \(\alpha\)에서 자유도 \(i\) 성분을 \(u_{i\alpha}\)라 하면, 3차원(\(i=1,2,3\))과 2차원(\(i=1,2\))에서 각각

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

가 된다. 좌표 \(\boldsymbol{X}^n\) 및 시험함수 \(\delta\boldsymbol{u}^n\)도 같은 배열을 따른다. 이후 행렬·벡터 형식의 식 전개는 3차원을 대표로 기술한다.

관련 항목