Vai al contenuto

Funzioni di forma e approssimazione agli elementi finiti

Per trattare computazionalmente la forma debole del principio dei lavori virtuali, il dominio del corpo viene suddiviso in un numero finito di elementi e, all'interno di ciascun elemento, le coordinate dei punti materiali, lo spostamento e la funzione di test vengono interpolati a partire dai valori nodali e dalle funzioni di forma. Le derivate spaziali delle funzioni di forma sono trattate in Derivate spaziali delle funzioni di forma, la discretizzazione della forma debole in Discretizzazione del lavoro virtuale interno e le forme specifiche delle funzioni di forma per ciascun tipo di elemento in Sistema di numerazione degli elementi e libreria delle funzioni di forma e nelle sezioni successive.

Suddivisione del dominio e somme degli integrali per elemento

Il dominio \(\Omega_0\) nella configurazione di riferimento e il dominio \(\Omega\) nella configurazione corrente sono approssimati mediante le unioni degli elementi \(\Omega^e_0\) e \(\Omega^e\), rispettivamente:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) è il numero dell'elemento e i contorni degli elementi sono condivisi tra elementi adiacenti.) In questo modo gli integrali di volume e di superficie presenti nel principio dei lavori virtuali vengono scomposti in somme di integrali sui singoli elementi:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Lo stesso vale per la configurazione corrente sostituendo \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) e \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Da questo punto in avanti, la valutazione della forma debole si riduce alla costruzione degli integrali elemento per elemento.

Interpolazione mediante valori nodali e funzioni di forma (elementi isoparametrici)

A ciascun elemento \(\Omega^e_0\) vengono assegnati \(n_e\) nodi. Siano \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) le coordinate nella configurazione di riferimento e gli spostamenti nodali del nodo di elemento \(\alpha = 1, \ldots, n_e\). I vettori nodali dell'elemento \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) e \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) sono formati disponendo tali valori; per l'elemento \(e\), essi contengono solo le componenti dei nodi che costituiscono l'elemento, estratte dai vettori nodali globali \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) è il numero totale di nodi).

Usando come parametri le coordinate naturali \(\boldsymbol{r}\), che sono le coordinate locali interne all'elemento, le funzioni di forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolano, mediante le stesse funzioni di forma, le coordinate materiali, lo spostamento e la funzione di test all'interno dell'elemento (elemento isoparametrico e metodo di Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Le funzioni di forma sono costruite in modo da soddisfare le due proprietà seguenti e la geometria dell'elemento viene scelta affinché la trasformazione \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) dalle coordinate naturali alle coordinate materiali sia biunivoca all'interno dell'elemento:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) è il punto nelle coordinate naturali corrispondente al nodo \(\alpha\) e \(\delta_{\alpha\beta}\) è il delta di Kronecker.) La prima equazione garantisce la riproduzione della traslazione rigida, mentre la seconda garantisce che il valore interpolato coincida con il valore nodale in ciascun nodo. Le forme specifiche di \(n_e\) e \(N_\alpha^e\) per ciascun tipo di elemento sono riportate in Sistema di numerazione degli elementi e libreria delle funzioni di forma e nelle sezioni successive. Per evitare una notazione eccessivamente complessa, la dipendenza dal tipo di elemento è rappresentata mediante l'apice \(e\) relativo all'elemento.

Con le regole di interpolazione sopra indicate, l'integrando della forma debole può essere espresso esclusivamente in termini dei valori nodali dell'elemento \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) e di \(N_\alpha^e\). La deformazione, invece, viene ricavata dallo spostamento interpolato e dalla relazione deformazione-spostamento, mentre la tensione viene ricavata da tale deformazione e dalla legge costitutiva del materiale; queste grandezze non vengono interpolate direttamente dai valori nodali. Esse sono valutate nei punti di integrazione all'interno dell'elemento (Integrazione numerica).

Regola di ordinamento dei vettori nodali globali

Le grandezze fisiche assegnate ai nodi sono disposte nel vettore nodale globale in ordine crescente di numero di nodo → grado di libertà. Se, nel nodo \(\alpha\), la componente del grado di libertà \(i\) è indicata con \(u_{i\alpha}\), allora, rispettivamente in tre dimensioni (\(i=1,2,3\)) e in due dimensioni (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Le coordinate \(\boldsymbol{X}^n\) e la funzione di test \(\delta\boldsymbol{u}^n\) seguono lo stesso ordinamento. Di seguito, le derivazioni in forma matriciale e vettoriale sono scritte utilizzando come caso rappresentativo quello tridimensionale.

Argomenti correlati