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Analisi transitoria della conduzione termica

Vengono presentati la discretizzazione temporale e il metodo di soluzione iterativo per l'analisi della conduzione termica dei solidi mediante il metodo degli elementi finiti (Finite Element Method). Per le equazioni governanti e le condizioni al contorno del continuo, vedere Equazione della conduzione termica.

Equazione discretizzata (punto di partenza)

Discretizzando con il metodo di Galerkin l'equazione della conduzione termica (equazione della conduzione termica (gov_he_main)), si ottiene

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

dove

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Qui \(K\), \(M\), \(F\) e \(N\) sono rispettivamente la matrice di conduzione termica (incluse le componenti convettive e radiative dovute al contorno), la matrice di massa, il vettore dei carichi termici e la matrice delle funzioni di forma. Le definizioni dei simboli delle proprietà del materiale (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), ecc.) seguono l'Equazione della conduzione termica.

Discretizzazione temporale e soluzione iterativa

L'equazione \(\eqref{eq:2.4.8}\) è un'equazione non lineare e transitoria. Discretizzando ora il tempo con il metodo di Eulero all'indietro, quando la temperatura all'istante \(t=t_0\) è nota, la temperatura all'istante \(t=t_0+\Delta t\) viene calcolata mediante la seguente equazione.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Si considera di migliorare il vettore delle temperature \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), che soddisfa approssimativamente l'equazione \(\eqref{eq:2.4.13}\), per ottenere una soluzione più accurata \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

A tale scopo, si esprime innanzitutto il vettore delle temperature come segue.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Il prodotto della matrice di conduzione termica per il vettore delle temperature, la matrice di massa e gli altri termini vengono approssimati come segue.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Sostituendo le equazioni \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) e \(\eqref{eq:2.4.16}\) nell'equazione \(\eqref{eq:2.4.13}\) e trascurando i termini di secondo ordine e superiori, si ottiene la seguente equazione.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

La matrice dei coefficienti del membro sinistro viene inoltre valutata approssimativamente mediante la seguente equazione.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Qui \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) è la matrice di rigidezza tangente.

In definitiva, la temperatura all'istante \(t=t_0+\Delta t\) può essere calcolata eseguendo il calcolo iterativo con la seguente equazione.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

In particolare, nell'analisi stazionaria il calcolo iterativo viene eseguito mediante la seguente equazione.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Nell'analisi transitoria, poiché per la discretizzazione temporale viene adottato un metodo implicito, la scelta dell'incremento temporale \(\Delta t\) non è in generale soggetta a vincoli sulla sua grandezza. Tuttavia, se l'incremento temporale \(\Delta t\) è troppo grande, aumenta il numero di iterazioni necessarie alla convergenza. In generale, un incremento temporale \(\Delta t\) eccessivamente grande aumenta il numero di iterazioni. Nell'implementazione viene usato il controllo automatico dell'incremento, che monitora la grandezza del vettore residuo, riduce \(\Delta t\) quando la convergenza è lenta e aumenta \(\Delta t\) quando il numero di iterazioni è ridotto (→ per i dettagli vedere Controllo dello step).

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