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Discretizzazione del lavoro virtuale interno

L'equazione del lavoro virtuale al tempo \(t + \Delta t\) presentata in Schema dell'analisi incrementale assume due forme, la formulazione Updated Lagrange e la formulazione Total Lagrange, a seconda della configurazione di riferimento scelta. In questo capitolo, l'approssimazione agli elementi finiti introdotta in Funzioni di forma e approssimazione agli elementi finiti e Derivate spaziali delle funzioni di forma viene utilizzata per discretizzare spazialmente il lavoro virtuale interno di entrambe le formulazioni e ottenere i vettori delle forze interne dell'elemento \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) e \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Per l'elemento \(e\), siano i nodi costituenti \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); siano gli spostamenti \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) e si disponga il vettore degli spostamenti nodali dell'elemento come \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Lo spostamento virtuale \(\delta \boldsymbol{u}^e\) è definito nello stesso ordine. Lo spostamento all'interno dell'elemento è interpolato mediante le funzioni di forma come \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Lavoro virtuale interno nella formulazione Updated Lagrange

Nella formulazione Updated Lagrange, al tempo \(t\) la configurazione corrente \({}^{t}\Omega\) è utilizzata come configurazione di riferimento, e il lavoro virtuale interno è espresso in termini della tensione di Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e della parte lineare della deformazione di Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) come

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Ogni componente di \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) può essere espresso, usando le coordinate della configurazione corrente \(\boldsymbol{x}\), come combinazione lineare delle derivate delle funzioni di forma \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) e degli spostamenti virtuali nodali \(\delta u^e_{i\alpha}\). In notazione di Voigt, ciò può essere raccolto come

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Il blocco nodale \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) è formato disponendo \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) secondo la convenzione di Voigt in una matrice \(6 \times 3\), e \(\boldsymbol{B}_L\) è la matrice deformazione-spostamento della formulazione UL. Sostituendo questa relazione nel lavoro virtuale interno e raccogliendo \(\delta \boldsymbol{u}^e\) si ottiene

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Per \(\boldsymbol{q}^e\), il blocco nodale \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) è la forza interna dell'elemento \(\Omega^e\) agente sul nodo costituente \(\alpha\).

Lavoro virtuale interno nella formulazione Total Lagrange

Nella formulazione Total Lagrange, la configurazione iniziale \(\Omega_0\) è utilizzata come configurazione di riferimento, e il lavoro virtuale interno è espresso in termini della seconda tensione di Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e della deformazione di Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) come

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

La variazione \(\delta \boldsymbol{E}\) è separata in un termine lineare nello spostamento virtuale e in un termine non lineare contenente prodotti con il gradiente di spostamento corrente \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Il termine lineare può essere scritto applicando a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) la stessa regola di disposizione usata nella formulazione UL, ottenendo il blocco nodale \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Per effetto della diversa configurazione di riferimento, cambiano soltanto le derivate costituenti, da \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); viene usato lo stesso simbolo della formulazione UL. Il termine non lineare utilizza i prodotti del gradiente di spostamento corrente \(\partial u_k/\partial X_j\) e di \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), disposti secondo la convenzione di Voigt per formare il blocco nodale \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Pertanto, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), e \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) è la matrice deformazione-spostamento della formulazione TL. Sostituendo questa relazione nel lavoro virtuale interno si ottiene

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Il blocco nodale \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) è la forza interna dell'elemento \(\Omega^e_0\) agente sul nodo costituente \(\alpha\).

Corrispondenza tra UL/TL e flusso di calcolo

I vettori delle forze interne dell'elemento nelle formulazioni Updated Lagrange e Total Lagrange corrispondono come segue.

Voce Formulazione Updated Lagrange Formulazione Total Lagrange
Configurazione di riferimento Configurazione corrente \({}^{t}\Omega^e\) Configurazione iniziale \(\Omega^e_0\)
Tensore delle tensioni Tensione di Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Seconda tensione PK \(\boldsymbol{S}\)
Variazione della deformazione \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matrice B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Forza interna dell'elemento \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Entrambe sono trattate con la stessa procedura: costruire \(\boldsymbol{B}_L\) dalle derivate spaziali delle funzioni di forma; nella formulazione TL, costruire e aggiungere \(\boldsymbol{B}_{NL}\) a partire dal gradiente di spostamento corrente; aggiornare la tensione (\(\boldsymbol{\sigma}\) o \(\boldsymbol{S}\)) secondo la legge costitutiva; e integrare numericamente \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) oppure \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) sul dominio dell'elemento nei punti di integrazione (Integrazione numerica). Salvo la commutazione della configurazione di riferimento (coordinate nodali e costruzione della matrice \(\boldsymbol{B}\)) e la sostituzione del tensore delle tensioni, l'elaborazione è comune; FrontISTR implementa quindi i calcoli delle forze interne delle due formulazioni mediante subroutine comuni. L'assemblaggio dei vettori delle forze interne dell'elemento \(\boldsymbol{q}^e\) e \(\boldsymbol{Q}^e\) nel vettore globale delle forze interne è trattato in Lavoro virtuale esterno e assemblaggio delle equazioni globali.

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