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Derivate spaziali delle funzioni di forma

Le funzioni di forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introdotte in Funzioni di forma e approssimazione agli elementi finiti sono espresse come funzioni delle coordinate naturali \(\boldsymbol{r}\), che sono le coordinate locali di un elemento. D'altra parte, attraverso la relazione deformazione-spostamento, gli integrandi della forma debole contengono derivate parziali rispetto alle coordinate fisiche (la configurazione di riferimento \(\boldsymbol{X}\) o la configurazione corrente \(\boldsymbol{x}\)), ossia \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) oppure \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Questa sezione organizza la procedura per calcolare tali derivate spaziali delle funzioni di forma a partire dalle coordinate nodali dell'elemento e dalle derivate rispetto alle coordinate naturali.

Espressione delle derivate spaziali mediante la regola della catena

Applicando la regola della catena alla formula di interpolazione \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (sezione precedente) e usando la matrice Jacobiana \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) della trasformazione dalle coordinate naturali alle coordinate fisiche, si ottiene

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Qui, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) e \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) sono matrici nelle quali la riga \(\alpha\) rappresenta il vettore delle derivate parziali relativo al nodo \(\alpha\); ciascuna è una matrice \(n_e \times 3\).

Costruzione della matrice Jacobiana

Derivando la formula di interpolazione rispetto a \(\boldsymbol{r}\) si ottiene

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Pertanto, la matrice Jacobiana può essere costruita direttamente a partire dalle coordinate nodali dell'elemento \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) e dalle derivate rispetto alle coordinate naturali \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Le derivate rispetto alle coordinate naturali sono determinate dalla forma funzionale delle funzioni di forma e sono implementate in anticipo per ciascun tipo di elemento.

Il determinante della matrice Jacobiana \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) viene utilizzato nell'integrazione numerica per trasformare l'elemento di volume secondo \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Se il determinante diventa \(0\), l'elemento è degenere e il calcolo fallisce.

Flusso di calcolo

Dalla derivazione precedente, il calcolo delle derivate spaziali \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) può essere suddiviso nelle quattro fasi seguenti.

  1. Calcolo delle derivate rispetto alle coordinate naturali: utilizzando come input il tipo di elemento e le coordinate naturali \(\boldsymbol{r}\) del punto di valutazione, calcolare la matrice delle derivate rispetto alle coordinate naturali \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Poiché la forma funzionale delle funzioni di forma varia in base al tipo di elemento, l'elaborazione si ramifica in funzione del tipo di elemento.
  2. Calcolo della matrice Jacobiana: a partire dalle coordinate nodali dell'elemento \(\boldsymbol{X}^e\) e da \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), costruire la matrice Jacobiana \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) mediante l'equazione della sezione precedente.
  3. Calcolo della matrice inversa e del determinante: calcolare l'inversa \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) e il determinante della matrice Jacobiana. Il determinante viene utilizzato nella pesatura dell'integrazione numerica.
  4. Calcolo delle derivate spaziali: a partire da \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) e \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\), ottenere le derivate spaziali \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) come loro prodotto.

Queste quattro fasi si ramificano in base al tipo di elemento e alla dimensione spaziale (due o tre dimensioni), ma il flusso complessivo è comune.

Trattamento comune della configurazione di riferimento e della configurazione corrente

La procedura precedente può essere applicata anche semplicemente sostituendo \(\boldsymbol{X}^e\) con le coordinate nodali correnti \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) per ottenere le derivate spaziali \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) nella configurazione corrente. In questo modo, la stessa procedura può essere condivisa tra le formulazioni Total Lagrangian e Updated Lagrangian, modificando esclusivamente le coordinate nodali fornite in input.

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