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Formulazioni avanzate degli elementi

La formulazione standard basata sugli spostamenti presentata in Formulazione degli elementi solidi tridimensionali manifesta una rigidezza artificiale eccessiva, nota come locking (locking volumetrico o locking a taglio), quando viene applicata a materiali quasi incomprimibili o a strutture a parete sottile dominate dalla flessione. Per evitare questo problema, FrontISTR mette a disposizione i metodi B-bar e F-bar, che sostituiscono soltanto la componente volumetrica della matrice B o del gradiente di deformazione; elementi incompatibili dotati di gradi di libertà interni; elementi misti u-p che trattano la pressione come un campo incognito indipendente; ed elementi shell MITC ed elementi trave specializzati rispettivamente per strutture a piastra e a trave.

Questo capitolo riassume, elemento per elemento, le formulazioni di tali elementi avanzati e degli elementi strutturali.

Metodo B-bar

Quando un elemento esaedrico lineare a 8 nodi viene utilizzato per un materiale quasi incomprimibile, il campo di deformazione all'interno dell'elemento può risultare incompatibile con il vincolo di volume costante, producendo una rigidezza eccessiva nota come locking volumetrico. Il metodo B-bar attenua questo sovravincolo sostituendo le componenti della matrice B che contribuiscono alla dilatazione volumetrica con valori valutati al centro dell'elemento [Hughes1980].

Al centro dell'elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), sia \(\bar{\boldsymbol{B}}\) la matrice B calcolata a partire dalle derivate spaziali delle funzioni di forma; al punto di integrazione \(\boldsymbol{r}\), sia \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) la normale matrice B. Nella relazione spostamento-deformazione per il nodo \(\alpha\) e il grado di libertà \(i\), le componenti di deformazione volumetrica \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) vengono modificate aggiungendo

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Per le componenti di taglio \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) viene utilizzata la normale \(\boldsymbol{B}\). La rigidezza dell'elemento e il vettore delle forze interne vengono assemblati usando la matrice B-bar risultante.

FrontISTR fornisce questa formulazione specificamente per l'elemento esaedrico lineare a 8 nodi (ID elemento 361; vedere Sistema di numerazione degli elementi) e può essere applicata alle formulazioni a piccole deformazioni, Total Lagrange e Updated Lagrange.

Metodo F-bar

In presenza di deformazioni finite, la variazione volumetrica entra in modo non lineare attraverso il gradiente di deformazione \(\boldsymbol{F}\). Il metodo F-bar [deSouzaNeto1996] applica, a livello del gradiente di deformazione, un trattamento del locking volumetrico analogo al metodo B-bar.

Sia \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) il rapporto di volume del gradiente di deformazione valutato al centro dell'elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) e sia \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) il rapporto di volume in un punto di integrazione. Il gradiente di deformazione nel punto di integrazione viene sostituito da

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

In questo modo \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), per cui il rapporto di volume in tutto l'elemento viene uniformato al valore nel centro dell'elemento. La \(\bar{\boldsymbol{F}}\) sostituita viene utilizzata per la valutazione delle tensioni e per la costruzione della matrice deformazione-spostamento, mentre la rigidezza tangente dell'elemento include i termini aggiuntivi associati a questa sostituzione.

FrontISTR implementa il metodo F-bar specificamente per l'elemento esaedrico lineare a 8 nodi; esso può essere applicato sia alle piccole deformazioni sia alle formulazioni geometricamente non lineari Total Lagrange / Updated Lagrange.

Elementi incompatibili

L'elemento esaedrico lineare a 8 nodi non possiede i modi di deformazione necessari per la flessione e presenta locking di flessione nei problemi dominati dalla flessione. Gli elementi incompatibili [Taylor1976] introducono modi di spostamento aggiuntivi all'interno dell'elemento per compensare questa carenza.

Oltre agli spostamenti nodali dell'elemento \(\boldsymbol{u}^e\), vengono introdotti gradi di libertà dei modi incompatibili \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), esistenti soltanto all'interno dell'elemento, per 3 direzioni × 3 modi per elemento; il campo di spostamento viene quindi approssimato come

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Per le coordinate naturali \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), le funzioni di forma incompatibili sono assunte pari a \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) e \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Esse non garantiscono la continuità attraverso i confini degli elementi, ma aggiungono all'interno dell'elemento uno spazio capace di riprodurre le deformazioni associate ai modi flessionali.

La rigidezza dell'elemento viene dapprima assemblata in forma a blocchi gradi-di-libertà-esterni/gradi-di-libertà-interni

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Dopo l'assemblaggio in questa forma, la condensazione statica elimina i gradi di libertà interni mediante \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), ottenendo la rigidezza dell'elemento che coinvolge soltanto i gradi di libertà esterni

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

che viene passata all'assemblaggio globale.

FrontISTR implementa l'elemento incompatibile specificamente per l'elemento esaedrico lineare a 8 nodi (C3D8IC) e può applicarlo alle formulazioni a piccole deformazioni, Total Lagrange e Updated Lagrange.

Elementi misti U-P

Mentre i metodi B-bar e F-bar correggono la componente volumetrica nell'ambito di una formulazione basata sugli spostamenti, l'elemento misto u-p (U-P) utilizza una formulazione mista [Bathe1996] che introduce la pressione \(\lambda\) come campo incognito indipendente dallo spostamento. Per materiali quasi incomprimibili, come materiali gommosi con rapporto di Poisson estremamente vicino a 0,5 o metalli dopo deformazione plastica, imporre il vincolo di volume costante usando il solo campo di spostamento provoca locking volumetrico; trattare la pressione come variabile indipendente rilassa tale vincolo.

La tensione viene separata nelle componenti deviatorica e di pressione come

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Qui \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) è la matrice elastica deviatorica ottenuta rimuovendo dalla matrice elastica la parte volumetrica proporzionale al modulo volumetrico \(K\). La pressione \(\lambda\) e la deformazione volumetrica \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) sono legate dal vincolo tramite la comprimibilità \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

La discretizzazione con spostamento \(\boldsymbol{u}\) e pressione \(\lambda\) come incognite conduce al sistema accoppiato dell'elemento

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

dove \(\mathbf{K}_{uu}\) contiene il contributo elastico deviatorico e, per deformazioni finite, la rigidezza geometrica; \(\mathbf{K}_{up}\) accoppia deformazione volumetrica e pressione; e \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) è il termine di stabilizzazione della pressione (\(\boldsymbol{N}_p\) è la funzione di forma della pressione). Poiché i gradi di libertà della pressione sono interni all'elemento,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

si esegue la condensazione statica in questa forma e la rigidezza efficace che coinvolge soltanto i gradi di libertà esterni (di spostamento) viene passata all'assemblaggio globale.

FrontISTR implementa l'elemento U-P specificamente per l'elemento esaedrico lineare a 8 nodi, con un grado di libertà di pressione per elemento (costante all'interno dell'elemento). Può essere applicato alle formulazioni a piccole deformazioni, Total Lagrange e Updated Lagrange. In Updated Lagrange, la tensione deviatorica viene aggiornata mediante una velocità di tensione oggettiva (tipo Jaumann/Hughes-Winget), quindi la pressione \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) viene imposta usando il valore ottenuto mediante condensazione statica.

Elementi shell

Per strutture sottili a piastra e guscio si utilizzano elementi shell basati sulla teoria di piastra/guscio di Reissner-Mindlin. Al diminuire dello spessore, gli elementi piastra/guscio di basso ordine basati sugli spostamenti sovrastimano la deformazione di taglio trasversale attraverso un meccanismo analogo al locking volumetrico (locking a taglio), provocando un aumento eccessivo della rigidezza nei modi flessionali. Il metodo MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] evita questo problema ricampionando soltanto le componenti di deformazione di taglio in punti di tying predefiniti nell'elemento e interpolando nuovamente nell'elemento i valori campionati.

I nodi di un elemento shell MITC giacciono sulla superficie media e ciascun nodo possiede sei gradi di libertà: tre componenti traslazionali e tre componenti rotazionali rispetto al sistema di coordinate della normale alla superficie media. La rigidezza dell'elemento viene valutata mediante integrazione gaussiana tridimensionale sulle coordinate naturali della superficie media e sulla direzione dello spessore; lo spessore \(h\) viene fornito come proprietà dell'elemento durante la valutazione della legge costitutiva.

FrontISTR fornisce MITC3 (ID elemento 731), MITC4 (741) e MITC9 (743), rappresentati da un singolo strato sulla superficie media, oltre agli elementi shell stratificati MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nodi, 3 GDL per nodo) e MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nodi, 3 GDL per nodo), i cui nodi sono disposti su due strati lungo lo spessore. Negli elementi shell stratificati i gradi di libertà nodali comprendono soltanto tre componenti traslazionali, mentre i modi flessionali corrispondenti ai gradi di libertà rotazionali sono rappresentati dalla disposizione a due strati.

Elementi trave

Gli elementi lineari, come travi principali e strutture a telaio, vengono discretizzati con elementi trave. FrontISTR utilizza una formulazione di trave di Timoshenko che tiene conto della deformazione di taglio ed esprime sia la flessione sia il taglio come funzioni dei gradi di libertà traslazionali e rotazionali.

Ogni nodo di trave possiede sei gradi di libertà: tre componenti traslazionali e tre componenti rotazionali attorno all'asse della trave e agli assi trasversali. La rigidezza dell'elemento viene valutata mediante integrazione numerica monodimensionale lungo l'asse della trave. L'area della sezione \(A\) e i secondi momenti d'area \(I\) nelle direzioni di flessione e torsione sono forniti come proprietà della sezione della trave e, insieme al modulo di Young \(E\) e al modulo di taglio \(G\) del materiale, definiscono le rigidezze assiale, flessionale, torsionale e a taglio.

FrontISTR fornisce un elemento trave rettilineo a 2 nodi (ID elemento 611) e un elemento ibrido solido-trave tetraedrico a 4 nodi rappresentato con 3 nodi (641, per gradi di libertà misti).

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