Перейти к содержанию

Расширенные формулировки элементов

Стандартная формулировка на основе перемещений, приведённая в разделе Формулировка трёхмерных объёмных элементов, при применении к почти несжимаемым материалам или тонкостенным конструкциям с преобладающим изгибом проявляет чрезмерную искусственную жёсткость, называемую блокировкой (объёмной или сдвиговой). Для её устранения FrontISTR поддерживает методы B-bar и F-bar, заменяющие только объёмную часть B-матрицы или градиента деформации; несовместимые элементы с внутренними степенями свободы; смешанные u-p элементы, в которых давление рассматривается как независимое неизвестное поле; а также оболочечные MITC-элементы и балочные элементы, специализированные для пластинчатых и балочных конструкций.

В этой главе формулировки этих расширенных и структурных элементов систематизированы по типам элементов.

Метод B-bar

При использовании 8-узлового линейного гексаэдрического элемента для почти несжимаемого материала поле деформаций внутри элемента может противоречить условию постоянства объёма, что вызывает чрезмерную жёсткость, называемую объёмной блокировкой. Метод B-bar уменьшает эту избыточность ограничений, заменяя компоненты B-матрицы, отвечающие за объёмное расширение, значениями, вычисленными в центре элемента [Hughes1980].

Пусть в центре элемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) B-матрица, вычисленная по пространственным производным функций формы, равна \(\bar{\boldsymbol{B}}\), а в точке интегрирования \(\boldsymbol{r}\) обычная B-матрица равна \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). В соотношении перемещение–деформация для узла \(\alpha\) и степени свободы \(i\) объёмные компоненты деформации \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) модифицируются добавлением

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Для сдвиговых компонент \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) используется обычная \(\boldsymbol{B}\). Жёсткость элемента и вектор внутренних сил собираются с использованием полученной B-bar-матрицы.

В FrontISTR эта формулировка предоставляется специально для 8-узлового линейного гексаэдрического элемента (ID элемента 361; см. Система нумерации элементов) и применима к формулировкам малых деформаций, Total Lagrange и Updated Lagrange.

Метод F-bar

При конечных деформациях изменение объёма нелинейно входит через градиент деформации \(\boldsymbol{F}\). Метод F-bar [deSouzaNeto1996] применяет меру против объёмной блокировки, аналогичную B-bar, на уровне градиента деформации.

Пусть отношение объёмов градиента деформации, вычисленного в центре элемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), равно \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), а отношение объёмов в точке интегрирования равно \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Градиент деформации в точке интегрирования заменяется на

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Тогда \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), то есть отношение объёмов по всему элементу приводится к значению в центре элемента. Для вычисления напряжений и построения матрицы деформация–перемещение используется заменённый \(\bar{\boldsymbol{F}}\), а касательная жёсткость элемента включает дополнительные члены, связанные с этой заменой.

В FrontISTR метод F-bar реализован специально для 8-узлового линейного гексаэдрического элемента и может применяться как при малых деформациях, так и при нелинейной геометрии Total Lagrange / Updated Lagrange.

Несовместимые элементы

8-узловой линейный гексаэдрический элемент не имеет деформационных мод, необходимых для изгиба, и проявляет изгибную блокировку в задачах с преобладающим изгибом. Несовместимые элементы [Taylor1976] вводят дополнительные моды перемещений внутри элемента для компенсации этого недостатка.

Помимо узловых перемещений элемента \(\boldsymbol{u}^e\), вводятся степени свободы несовместимых мод \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), существующие только внутри элемента: 3 направления × 3 моды на элемент. Поле перемещений аппроксимируется как

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Для естественных координат \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) несовместимые функции формы принимаются как \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Они не гарантируют непрерывность на границах элементов, но добавляют внутри элемента пространство, способное воспроизводить деформации, связанные с изгибными модами.

Жёсткость элемента сначала формируется в блочном виде по внешним и внутренним степеням свободы

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

После сборки в таком виде выполняется статическая конденсация, исключающая внутренние степени свободы по формуле \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), и получается жёсткость элемента только по внешним степеням свободы

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

которая передаётся на глобальную сборку.

В FrontISTR несовместимый элемент реализован специально для 8-узлового линейного гексаэдрического элемента (C3D8IC) и применим к формулировкам малых деформаций, Total Lagrange и Updated Lagrange.

Смешанные U-P элементы

В отличие от методов B-bar и F-bar, корректирующих объёмную составляющую внутри формулировки на основе перемещений, смешанный u-p (U-P) элемент использует смешанную формулировку [Bathe1996], в которой давление \(\lambda\) вводится как неизвестное поле, независимое от перемещения. Для почти несжимаемых материалов, например резиноподобных материалов с коэффициентом Пуассона, чрезвычайно близким к 0.5, или металлов после пластической деформации, попытка выполнить условие постоянства объёма только полем перемещений приводит к объёмной блокировке; введение давления как независимой переменной ослабляет это ограничение.

Напряжение разделяется на девиаторную и гидростатическую составляющие:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Здесь \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) — девиаторная упругая матрица, полученная удалением из упругой матрицы объёмной части, пропорциональной модулю объёмного сжатия \(K\). Давление \(\lambda\) и объёмная деформация \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) связаны условием через сжимаемость \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Дискретизация с перемещением \(\boldsymbol{u}\) и давлением \(\lambda\) в качестве неизвестных приводит к связанной системе элемента

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

где \(\mathbf{K}_{uu}\) содержит девиаторную упругую составляющую и, при конечных деформациях, геометрическую жёсткость; \(\mathbf{K}_{up}\) связывает объёмную деформацию и давление; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) — стабилизирующий член давления (\(\boldsymbol{N}_p\) — функция формы давления). Поскольку степени свободы давления являются внутренними для элемента,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

выполняется статическая конденсация в указанной форме, и эффективная жёсткость только по внешним (перемещенческим) степеням свободы передаётся на глобальную сборку.

В FrontISTR U-P элемент реализован специально для 8-узлового линейного гексаэдрического элемента; на каждый элемент приходится одна степень свободы давления (постоянная внутри элемента). Он применим к формулировкам малых деформаций, Total Lagrange и Updated Lagrange. В Updated Lagrange девиаторное напряжение обновляется с использованием объективной производной напряжений (типа Jaumann/Hughes-Winget), после чего давление \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) задаётся значением, полученным статической конденсацией.

Оболочечные элементы

Для тонкостенных пластинчатых и оболочечных конструкций используются оболочечные элементы на основе теории пластин/оболочек Рейсснера–Миндлина. По мере уменьшения толщины низкопорядковые элементы на основе перемещений завышают поперечную сдвиговую деформацию по механизму, аналогичному объёмной блокировке (сдвиговая блокировка), из-за чего жёсткость по изгибным модам чрезмерно возрастает. Метод MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] устраняет эту проблему, повторно аппроксимируя только компоненты сдвиговой деформации в заранее заданных точках привязки внутри элемента и интерполируя полученные значения по элементу.

Узлы оболочечного MITC-элемента расположены на средней поверхности, и каждый узел имеет шесть степеней свободы: три поступательные компоненты и три вращательные компоненты относительно системы координат нормали к средней поверхности. Жёсткость элемента вычисляется трёхмерным гауссовым интегрированием по естественным координатам средней поверхности и по толщине, а толщина \(h\) задаётся как свойство элемента при вычислении определяющего закона.

FrontISTR предоставляет MITC3 (ID элемента 731), MITC4 (741) и MITC9 (743), представляемые одним слоем средней поверхности, а также слоистые оболочечные элементы MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 узла, 3 СС на узел) и MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 узла, 3 СС на узел), в которых узлы расположены в двух слоях по толщине. В слоистых оболочечных элементах узловые степени свободы представлены только тремя поступательными компонентами, а изгибные моды, соответствующие вращательным степеням свободы, описываются двухслойным расположением.

Балочные элементы

Линейные элементы конструкции, такие как балки и каркасы, дискретизируются балочными элементами. FrontISTR использует формулировку балки Тимошенко, учитывающую сдвиговую деформацию и выражающую изгиб и сдвиг как функции поступательных и вращательных степеней свободы.

Каждый узел балки имеет шесть степеней свободы: три поступательные и три вращательные компоненты относительно оси балки и поперечных осей. Жёсткость элемента вычисляется одномерным численным интегрированием вдоль оси балки. Площадь поперечного сечения \(A\) и вторые моменты площади \(I\) в направлениях изгиба и кручения задаются как свойства сечения балки и вместе с модулем Юнга \(E\) и модулем сдвига \(G\) формируют жёсткости при растяжении, изгибе, кручении и сдвиге.

FrontISTR предоставляет 2-узловой прямолинейный балочный элемент (ID элемента 611) и 4-узловой тетраэдрический гибридный элемент объёмный элемент–балка, представляемый 3 узлами (641, для смешанных степеней свободы).

Связанные темы