Линейно-упругий статический анализ (введение)

Здесь приводится формулировка упругого статического анализа на основе теории малых деформаций. Для связи между напряжением и деформацией предполагается линейная упругость. Эта глава является вводной и предназначена для понимания общей структуры конечно-элементного анализа конструкций; она построена как самостоятельный законченный раздел.

Общую теорию принципа виртуальных работ (текущая конфигурация, исходная конфигурация и переход к малым деформациям) см. в разделе Принцип виртуальных работ, подробности линейно-упругого определяющего соотношения — в Линейная упругость, соглашения по тензорным обозначениям и обозначениям Фойгта — в Тензорные обозначения и математические основы, общую формулировку конечных деформаций — в Движение, деформация и деформации, а методы решения нелинейных задач — в Касательная матрица жёсткости.

Основные уравнения

При предположениях малых деформаций и линейной упругости краевая задача механики твёрдого тела состоит из уравнения равновесия, механических граничных условий и геометрических (основных) граничных условий (см. рис. 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{в} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{на} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{на} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Здесь \(\boldsymbol{\sigma}\) — напряжение Коши, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) — объёмная сила на единицу объёма, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) — заданная поверхностная сила, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) — заданное перемещение, а \(S_t, S_u\) — механическая и геометрическая границы.

Рис. 2.1.1. Краевая задача механики твёрдого тела (задача малых деформаций)

Связь деформаций и перемещений с использованием оператора симметричного градиента записывается как

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Линейно-упругое определяющее соотношение имеет вид

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

где \(\boldsymbol{C}\) — тензор упругости четвёртого ранга.

Принцип виртуальных работ

Общие формы принципа виртуальных работ (представление в текущей конфигурации, представление в исходной конфигурации и переход к малым деформациям) собраны в разделе Принцип виртуальных работ. При предположениях малых деформаций и линейной упругости слабая форма имеет вид

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{на} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Подставляя определяющее соотношение \eqref{eq:2.1.5} и записывая \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) в обозначениях Фойгта, получаем форму, непосредственно используемую при дискретизации:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

где \(D\) — матрица упругости, определённая в разделе Линейная упругость. Уравнения \eqref{eq:2.1.10} и \eqref{eq:2.1.7} образуют принцип виртуальных работ, который далее дискретизируется.

Дискретизация и сборка глобального уравнения

Дискретизируя уравнение принципа виртуальных работ \( \eqref{eq:2.1.10} \) по конечным элементам, получаем

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Для каждого элемента поле перемещений интерполируется через перемещения узлов, образующих элемент, следующим образом.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Тогда деформация с использованием уравнения \(\eqref{eq:2.1.4}\) задаётся как

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Подставляя уравнения \(\eqref{eq:2.1.12}\) и \(\eqref{eq:2.1.13}\) в уравнение \(\eqref{eq:2.1.11}\), получаем

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Уравнение \(\eqref{eq:2.1.14}\) можно записать в виде

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Здесь компоненты матрицы и вектора, определённых уравнениями \(\eqref{eq:2.1.16}\) и \(\eqref{eq:2.1.17}\), могут вычисляться для каждого конечного элемента и затем собираться наложением.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Поскольку уравнение \(\eqref{eq:2.1.15}\) выполняется для произвольного виртуального перемещения \(\delta \boldsymbol{U}\), получаем

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

С другой стороны, граничное условие по перемещению \(\eqref{eq:2.1.3}\) записывается как

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Решая уравнение \(\eqref{eq:2.1.18}\) при ограничении \(\eqref{eq:2.1.19}\), можно определить узловые перемещения \(\boldsymbol{U}\).

Связанные разделы