Análise Estática Elástica Linear (Introdução)

Esta seção apresenta a formulação da análise estática elástica com base na teoria de deformações infinitesimais. Admite-se elasticidade linear para a relação tensão-deformação. Este capítulo foi concebido como uma introdução para compreender a estrutura geral da análise estrutural pelo método dos elementos finitos e está organizado como um capítulo autocontido.

Para a teoria geral do princípio dos trabalhos virtuais (forma na configuração atual, forma na configuração inicial e redução para deformações infinitesimais), consulte Princípio dos Trabalhos Virtuais. Para detalhes da lei constitutiva elástica linear, consulte Elasticidade Linear; para as convenções de notação tensorial e de Voigt, consulte Notação Tensorial e Fundamentos Matemáticos; para a formulação geral de grandes deformações, consulte Movimento, Deformação e Deformação Específica; e, para métodos de solução de problemas não lineares, consulte Matriz de Rigidez Tangente.

Equações Básicas

Sob as hipóteses de deformações infinitesimais e elasticidade linear, o problema de valor de contorno em mecânica dos sólidos é constituído pela equação de equilíbrio, pelas condições de contorno mecânicas e pelas condições de contorno geométricas (condições de contorno essenciais) (consulte a Figura 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{em} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{em} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{em} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Aqui, \(\boldsymbol{\sigma}\) é a tensão de Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) é a força de volume por unidade de volume, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) é a tração superficial prescrita, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) é o deslocamento prescrito e \(S_t, S_u\) são, respectivamente, os contornos mecânico e geométrico.

Figura 2.1.1 Problema de valor de contorno em mecânica dos sólidos (problema de deformações infinitesimais)

Usando o operador gradiente simétrico, a relação deformação-deslocamento é

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

A equação constitutiva elástica linear é

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

onde \(\boldsymbol{C}\) é o tensor de elasticidade de quarta ordem.

Princípio dos Trabalhos Virtuais

As formas gerais do princípio dos trabalhos virtuais (forma na configuração atual, forma na configuração inicial e redução para deformações infinitesimais) estão resumidas em Princípio dos Trabalhos Virtuais. Sob as hipóteses de deformações infinitesimais e elasticidade linear, a forma fraca é

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{em} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Substituindo a equação constitutiva \eqref{eq:2.1.5} e escrevendo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) na notação de Voigt, obtém-se a forma usada diretamente na discretização:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

onde \(D\) é a matriz elástica definida em Elasticidade Linear. As equações \eqref{eq:2.1.10} e \eqref{eq:2.1.7} constituem o princípio dos trabalhos virtuais discretizado abaixo.

Discretização e Montagem da Equação Global

Discretizando o princípio dos trabalhos virtuais da Eq.\( \eqref{eq:2.1.10} \) sobre os elementos finitos, obtém-se

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Para cada elemento, o campo de deslocamentos é interpolado usando os deslocamentos dos nós que compõem o elemento, como segue.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

A deformação é então dada, usando a Eq.\(\eqref{eq:2.1.4}\), da seguinte forma.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Substituindo as Eqs.\(\eqref{eq:2.1.12}\) e \(\eqref{eq:2.1.13}\) na Eq.\(\eqref{eq:2.1.11}\), obtém-se

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

A equação \(\eqref{eq:2.1.14}\) pode ser escrita como

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Aqui, os componentes da matriz e do vetor definidos pelas Eqs.\(\eqref{eq:2.1.16}\) e \(\eqref{eq:2.1.17}\) podem ser calculados para cada elemento finito e montados por superposição.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Como a Eq.\(\eqref{eq:2.1.15}\) vale para um deslocamento virtual arbitrário \(\delta \boldsymbol{U}\), obtém-se a equação a seguir.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Por outro lado, a condição de contorno de deslocamento da Eq.\(\eqref{eq:2.1.3}\) é expressa da seguinte forma.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Resolvendo a Eq.\(\eqref{eq:2.1.18}\) sujeita à condição de restrição da Eq.\(\eqref{eq:2.1.19}\), pode-se determinar o deslocamento nodal \(\boldsymbol{U}\).

Consulte Também