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Elastoplasticidade

Este capítulo descreve a estrutura da lei constitutiva elastoplástica adotada pelo FrontISTR. Para obter detalhes sobre a seleção e as especificações de entrada, consulte 03_material na seção de funções.

Fenômeno (deformação plástica)

TBD (a ser desenvolvido em texto completo na próxima fase).

Estrutura da lei constitutiva

O FrontISTR adota uma equação constitutiva elastoplástica baseada em uma regra de fluxo associada. Além disso, essa equação constitutiva expressa a relação entre a taxa de Jaumann da tensão de Kirchhoff e o tensor taxa de deformação, e a análise de deformação utiliza a formulação de Lagrange atualizada.

Suponha que a condição de escoamento de um material elastoplástico seja dada da seguinte forma.

Condição inicial de escoamento:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Condição de escoamento subsequente:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

onde

  • \(F\): função de escoamento
  • \(\sigma_{y_0}\): tensão inicial de escoamento
  • \(\sigma_y\): tensão de escoamento subsequente
  • \(\sigma\): tensor de tensões
  • \(e\): tensor de deformações infinitesimais
  • \(e^p\): tensor de deformações plásticas
  • \(\overline{e}^p\): deformação plástica equivalente

Admite-se que a relação tensão de escoamento–deformação plástica equivalente coincida com a relação tensão–deformação plástica no estado uniaxial.

Relação tensão–deformação plástica no estado uniaxial

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

onde \(H'\) é o módulo de encruamento por deformação.

Relação tensão equivalente–deformação plástica equivalente

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Em geral, a função de escoamento subsequente é função da temperatura e do trabalho de deformação plástica, mas, para simplificar, aqui se supõe que seja função apenas da deformação plástica equivalente \(\overline{e}^p\). Durante a evolução da deformação plástica, \(F = 0\) deve continuar sendo satisfeito; portanto, a equação a seguir deve ser atendida.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Aqui, \(\dot{F}\) representa a derivada temporal de \(F\). Daqui em diante, a derivada temporal de uma grandeza \(A\) é representada por \(\dot{A}\).

Suponha a existência de um potencial plástico \(\Theta\) e represente a taxa de deformação plástica pela seguinte equação.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Aqui, \(\dot{\lambda}\) é um coeficiente.

Além disso, supondo que o potencial plástico \(\Theta\) seja igual à função de escoamento \(F\), utiliza-se a seguinte regra de fluxo associada.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Substituindo esta equação na condição de consistência, obtém-se a seguinte equação.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Aqui, \(D\) é a matriz de elasticidade e

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

A relação tensão–deformação elastoplástica pode ser escrita da seguinte forma.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Uma vez conhecida a função de escoamento \(F\) do material elastoplástico, sua equação constitutiva é obtida a partir desta expressão.

Funções de escoamento

A seguir são listadas as funções de escoamento elastoplásticas adotadas pelo FrontISTR.

Função de escoamento de Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Aqui, \(J_2\) é o segundo invariante do tensor desviador de tensões.

Função de escoamento de Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Aqui, \(\sigma_1, \sigma_3\) são as tensões principais máxima e mínima, \(c\) é a coesão e \(\phi\) é o ângulo de atrito interno.

Função de escoamento de Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Aqui, as constantes do material \(\alpha\) e \(\sigma_y\) são calculadas a partir da coesão e do ângulo de atrito do material da seguinte forma.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

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