彈塑性¶

本章說明 FrontISTR 所採用之彈塑性構成律的架構。關於選擇方式與輸入指定的詳情，請參閱功能篇 03_material。

現象（塑性變形）¶

TBD（下一階段撰寫正文）。

構成律架構¶

FrontISTR 採用遵循關聯流動法則的彈塑性構成方程式。此外，此構成方程式表示 Kirchhoff 應力的 Jaumann 率與變形率張量之間的關係，而其變形分析採用 updated Lagrange 法。

假設彈塑性體的降伏條件如下所示。

初始降伏條件：

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

後續降伏條件：

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

其中，

\(F\): 降伏函數
\(\sigma_{y_0}\): 初始降伏應力
\(\sigma_y\): 後續降伏應力
\(\sigma\): 應力張量
\(e\): 微小應變張量
\(e^p\): 塑性應變張量
\(\overline{e}^p\): 等效塑性應變

假設降伏應力－等效塑性應變關係與單軸狀態下的應力－塑性應變關係一致。

單軸狀態下的應力－塑性應變關係

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

其中，\(H'\) 為應變硬化係數。

等效應力－等效塑性應變關係

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

一般而言，後續降伏函數是溫度與塑性應變功的函數，但此處為簡化起見，假設其僅為等效塑性應變 \(\overline{e}^p\) 的函數。在塑性變形進行期間，必須持續滿足 \(F = 0\)，因此下式必須成立。

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

此處 \(\dot{F}\) 表示 \(F\) 的時間導數。以下以 \(\dot{A}\) 表示任意量 \(A\) 的時間導數。

此處假設存在塑性勢 \(\Theta\)，並以下式表示塑性應變率。

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

此處 \(\dot{\lambda}\) 為係數。

再假設塑性勢 \(\Theta\) 等於降伏函數 \(F\)，採用下列關聯流動法則。

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

將此式代入一致性條件式，可得下式。

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

其中 \(D\) 為彈性矩陣，且

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

彈塑性的應力－應變關係式可寫成如下形式。

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

若已知彈塑性材料的降伏函數 \(F\)，即可由此式得到其構成方程式。

降伏函數¶

以下列出 FrontISTR 所採用的彈塑性降伏函數。

Von Mises 降伏函數¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

此處 \(J_2\) 為偏差應力張量的第二不變量。

Mohr-Coulomb 降伏函數¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

此處 \(\sigma_1, \sigma_3\) 分別為最大與最小主應力，\(c\) 為黏聚力，\(\phi\) 為內摩擦角。

Drucker-Prager 降伏函數¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

此處材料常數 \(\alpha\) 與 \(\sigma_y\) 由材料的黏聚力與摩擦角按下式計算。

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]