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3 維實體單元的形狀函數

本章彙整在形狀函數與有限元素近似中導入的形狀函數 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)，針對 FrontISTR 於連續體分析中使用的 3 維實體單元，整理其自然座標系與具體形式。對象包括四面體一次／二次（341・342）、三角柱一次／二次（351・352）、六面體一次／二次（361・362）共 6 種類型。HEC-MW 網格格式中的節點排列順序與面編號，請參閱功能參考的單元庫。

由這些形狀函數與 Jacobian 行列式組成單元積分的程序，依照數值積分。361 的 B-bar、F-bar、非相容定式化，以及梁與殼單元的形狀函數，則在高性能單元定式化中說明。

自然座標系與內部節點排列

形狀函數定義於各單元的自然座標 \(\boldsymbol{r}\) 上。3 維實體單元會依單元形狀使用以下 3 種自然座標系。

  • 六面體（361・362）：\(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)，\(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\)。
  • 四面體（341・342）：體積座標 \((L_1, L_2, L_3, L_4)\)，\(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\)，\(L_i \ge 0\)。取 \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) 為獨立變數，並以 \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) 定義。
  • 三角柱（351・352）：將底面三角形的體積座標 \((\xi, \eta)\)（\(0 \le \xi, \eta\)，\(\xi + \eta \le 1\)）與軸向座標 \(\zeta \in [-1, 1]\) 結合，令 \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)。輔助量 \(a = 1 - \xi - \eta\) 用作底面的第 3 個體積座標。

對一次單元而言，HEC-MW 輸入格式與內部格式的單元節點編號一致。對二次單元而言，邊中點節點的排列規則在兩種格式中不同。FrontISTR 接受 HEC-MW 格式輸入（先依序列出角節點，再按邊 1-2、2-3、… 的順序列出邊中點節點），而單元庫中的形狀函數則以另一種節點排列為前提實作。

兩種格式的差異由網格讀取後立即呼叫的 hecmw2fstr_mesh_conv 針對各單元重新排列節點來消除。3 維實體單元中，需要轉換的是以下 2 種類型。

單元類型 轉換表 內容
342（四面體二次） Table342 將 10 個節點重新排列為 \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352（三角柱二次） Table352 將 15 個節點重新排列為 \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

由於重新排列是直接對儲存單元連接資訊的陣列進行，因此後續所有單元庫呼叫皆使用 FrontISTR 內部節點排列。對六面體二次單元 362 而言，HEC-MW 輸入格式與 FrontISTR 內部格式的邊中點節點排列一致，因此不存在轉換表。輸出結果時會呼叫逆轉換 fstr2hecmw_mesh_conv，先恢復為 HEC-MW 格式的節點排列再寫出，因此無論輸入或輸出，使用者只需留意 HEC-MW 格式即可。以下形狀函數中的節點編號皆採用轉換後的 FrontISTR 內部格式。

一次單元的形狀函數

四面體一次單元（341）的形狀函數就是體積座標本身：

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

三角柱一次單元（351）的形狀函數，是底面三角形的線性形狀函數（\(a, \xi, \eta\)）與軸向線性形狀函數（\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)）的乘積：

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

六面體一次單元（361）的形狀函數，是 3 個座標方向之線性形狀函數的張量積：

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

其中 \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) 表示節點 \(\alpha\) 的自然座標值（各分量為 \(\pm 1\)）。

二次單元的形狀函數

四面體二次單元（342）的形狀函數分為 4 個角節點與 6 個邊中點節點：

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

邊中點節點 5～10 分別對應邊 1-2、2-3、1-3、1-4、2-4、3-4 的中點。

三角柱二次單元（352）的形狀函數由 6 個角節點、三角形面上的 6 個邊中點節點，以及軸向稜上的 3 個中點節點構成：

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

邊中點節點 7～9 對應底面三角形（\(\zeta = -1\)）各邊的中點，10～12 對應上面三角形（\(\zeta = +1\)）各邊的中點，13～15 對應軸向稜的中點。

六面體二次單元（362）是 Serendipity 族的 20 節點單元。令節點 \(\alpha\) 的自然座標值為 \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\)。對角節點（\(\alpha = 1, \ldots, 8\)，各分量為 \(\pm 1\)），

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

對邊中點節點（\(\alpha = 9, \ldots, 20\)，3 個自然座標中有一個為 \(0\)，其餘兩個為 \(\pm 1\)），其中 \(\xi_\alpha = 0\) 的節點（邊方向為 \(\xi\) 軸）為

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

邊方向為 \(\eta\) 軸或 \(\zeta\) 軸的中點節點亦同樣處理，以平方項消去相對應的自然座標。

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